Applicazione del teorema di Lebesgue..dubbi e domande
Salve ragazzi, vi chiedo aiuto per una tipologia esercizi di analisi reale che dovrebbe essere quasi meccanica (dovrebbe e soprattutto quasi 
)
Si tratta dell'applicazione del teorema di Lebesgue. Devo calcolare il limite per n che tende ad infinito dell' integrale che va da 1 a $n^2$ di
$[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$
Prima di tutto, questo teorema posso applicarlo se la funzione (in questo caso $[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$ ) è misurabile, non negativa e monotona crescente. Sbaglio o non è monotona crescente?
Da quello che FORSE ho capito, se non è monotona crescente , devo trovare una g(x) tale che |f(x)| sia minore/uguale di g(x)..con g(x) misurabile e sommabile.
Oltretutto, altro dubbio, quando negli estremi dell'integrale mi compare una n..devo utilizzare la funzione caratteristica?
Io ho tentato di ragionare cosi:
la funzione caratteristica è sempre minore/uguale di 1
$(sen(n^10 x) )/x^2$ è minore/uguale di 1
$e^(-nx)$ è minore/uguale di 1
La mia g(x) sarebbe 1...
forse vi ho confuso le idee, ma credetemi, le tengo confusissime anche io.
Illuminatemi please! Grazie
)Si tratta dell'applicazione del teorema di Lebesgue. Devo calcolare il limite per n che tende ad infinito dell' integrale che va da 1 a $n^2$ di
$[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$
Prima di tutto, questo teorema posso applicarlo se la funzione (in questo caso $[(sen(n^10 x) )/x^2]e^(-nx)$ ) è misurabile, non negativa e monotona crescente. Sbaglio o non è monotona crescente?
Da quello che FORSE ho capito, se non è monotona crescente , devo trovare una g(x) tale che |f(x)| sia minore/uguale di g(x)..con g(x) misurabile e sommabile.
Oltretutto, altro dubbio, quando negli estremi dell'integrale mi compare una n..devo utilizzare la funzione caratteristica?
Io ho tentato di ragionare cosi:
la funzione caratteristica è sempre minore/uguale di 1
$(sen(n^10 x) )/x^2$ è minore/uguale di 1
$e^(-nx)$ è minore/uguale di 1
La mia g(x) sarebbe 1...
forse vi ho confuso le idee, ma credetemi, le tengo confusissime anche io.
Illuminatemi please! Grazie
Risposte
Tra le ipotesi di Lebesgue non c'è la monotonia della successione, nè la positività dell'integrando; c'è solo la possibilità di maggiorare le funzioni della successione con un'unica funzione sommabile su tutto l'insieme d'integrazione, che deve essere comune a tutte le funzioni della successione.
Nel tuo caso, l'insieme di integrazione non è lo stesso per tutte le funzioni; tuttavia, puoi scrivere i tuoi integrandi come prodotti contro funzioni caratteristiche:
\[
f_n(x):= \frac{\sin n^{10}x}{x^2}\ \mathbf{e}^{-nx}\ \chi_{[1,n^2]}(x)
\]
definiti in tutto \([1,+\infty[\), ergo lo spazio di integrazione è $[1,+oo[$; la maggiorazione con una funzione sommabile è abbastanza ovvia e non sto qui a suggerirla.
Tuttavia, ti dico che non ti puoi permettere di maggiorare con una funzione costante, dato che una tale funzione non è sommabile in un intervallo non limitato.
Nel tuo caso, l'insieme di integrazione non è lo stesso per tutte le funzioni; tuttavia, puoi scrivere i tuoi integrandi come prodotti contro funzioni caratteristiche:
\[
f_n(x):= \frac{\sin n^{10}x}{x^2}\ \mathbf{e}^{-nx}\ \chi_{[1,n^2]}(x)
\]
definiti in tutto \([1,+\infty[\), ergo lo spazio di integrazione è $[1,+oo[$; la maggiorazione con una funzione sommabile è abbastanza ovvia e non sto qui a suggerirla.
Tuttavia, ti dico che non ti puoi permettere di maggiorare con una funzione costante, dato che una tale funzione non è sommabile in un intervallo non limitato.
Ok, fino a fn(x) con la funzione caratteristica ci sono.
Come funzione per la maggiorazione posso utilizzare $1/x$ ?
Come funzione per la maggiorazione posso utilizzare $1/x$ ?
Ma no, ma no, che non è sommabile!!!
(Cercare di fare un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I è un suicidio...)
Al massimo prendi $1/x^2$, altrimenti anche \(\mathbf{e}^{-x}\).
P.S.: Esame con la Ianni?
(Cercare di fare un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I è un suicidio...)
Al massimo prendi $1/x^2$, altrimenti anche \(\mathbf{e}^{-x}\).
P.S.: Esame con la Ianni?
"gugo82":
Ma no, ma no, che non è sommabile!!!
(Cercare di fare un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I è un suicidio...)
Al massimo prendi $1/x^2$, altrimenti anche \(\mathbf{e}^{-x}\).
P.S.: Esame con la Ianni?
MI E' SFUGGITO IL QUADRATO MENTRE SCRIVEVO LA FORMULA , LO GIURO.
Oddio,che ne sai?
Comunque, approfittando della tua gentilezza, spero tu possa guidarmi nel continuo dell'esercizio.
A questo punto, una volta trovata la maggiorazione, continuare l'esercizio dovrebbe essere semplice, in quanto posso portare il limite dentro l'integrale e svolgere i calcoli. Solo che su questa tipologia specifica non mi è chiara una cosa: dal momento in cui ho usato la funzione caratteristica, devo fare qualche altro passaggio? inoltre, devo svolgere l'integrale definito da $1$ a $n^2$ ?
A questo punto, una volta trovata la maggiorazione, continuare l'esercizio dovrebbe essere semplice, in quanto posso portare il limite dentro l'integrale e svolgere i calcoli. Solo che su questa tipologia specifica non mi è chiara una cosa: dal momento in cui ho usato la funzione caratteristica, devo fare qualche altro passaggio? inoltre, devo svolgere l'integrale definito da $1$ a $n^2$ ?
"WhiteC":
[quote="gugo82"]Ma no, ma no, che non è sommabile!!!
(Cercare di fare un esame di Analisi superiore senza ricordare Analisi I è un suicidio...)
Al massimo prendi $1/x^2$, altrimenti anche \(\mathbf{e}^{-x}\).
MI E' SFUGGITO IL QUADRATO MENTRE SCRIVEVO LA FORMULA , LO GIURO.[/quote]
"WhiteC":Oddio,che ne sai?
[quote="gugo82"]P.S.: Esame con la Ianni?
[/quote]Sempre gli stessi esercizi... Abbastanza noiosi, dopo un po'.
Per quel che riguarda il calcolo, si tratta di calcolare il limite puntuale q.o. della successione $f_n$ in $[1,+oo[$, cosa che dovresti sapere fare da Analisi II, ed integrarlo nell'intervallo che ti interessa.
OK per il calcolo del limite di successione. La cosa che mi lascia un po' in dubbio è la funzione caratteristica.
Insomma, per intenderci, devo calcolare il lim di\[ f_n(x):= \frac{\sin n^{10}x}{x^2}\ \mathbf{e}^{-nx}\ \chi_{[1,n^2]}(x) \] compresa $\chi_{[1,n^2]}(x)$ ?
Se sì, $\chi_{[1,n^2]}(x)$ come si tratta?
Oltretutto, in alcuni esercizi svolti (molto poco affidabili) che ho trovato in giro, svolge il limite di successione e , in casi del genere, integra tra 1 a $n^2$ .. altre volte invece da 1 a infinito. Nel senso che dal momento in cui compare una n, viene sostituita con infinito ( lo so che lo sto dicendo in modo brutale e osceno, ma non so come spiegarmi tramite uno schermo.)
Chiedo scusa se devo praticamente essere portato con la manina, ma se per l'analisi complessa mi è stato più facile capirci qualcosa, per la reale non ho nè molto materiale nè molti esempi svolti da cui posso trarre chiarimenti.
E' la prima volta che vedo esercizi del genere. Vorrei capire con che testa affrontarli
Insomma, per intenderci, devo calcolare il lim di\[ f_n(x):= \frac{\sin n^{10}x}{x^2}\ \mathbf{e}^{-nx}\ \chi_{[1,n^2]}(x) \] compresa $\chi_{[1,n^2]}(x)$ ?
Se sì, $\chi_{[1,n^2]}(x)$ come si tratta?
Oltretutto, in alcuni esercizi svolti (molto poco affidabili) che ho trovato in giro, svolge il limite di successione e , in casi del genere, integra tra 1 a $n^2$ .. altre volte invece da 1 a infinito. Nel senso che dal momento in cui compare una n, viene sostituita con infinito ( lo so che lo sto dicendo in modo brutale e osceno, ma non so come spiegarmi tramite uno schermo.)
Chiedo scusa se devo praticamente essere portato con la manina, ma se per l'analisi complessa mi è stato più facile capirci qualcosa, per la reale non ho nè molto materiale nè molti esempi svolti da cui posso trarre chiarimenti.
E' la prima volta che vedo esercizi del genere. Vorrei capire con che testa affrontarli
Per calcolare il limite della successione \( \chi_{[1,n^2]}(x)\) basta scrivere esplicitamente la legge di assegnazione, i.e.:
\[
\chi_{[1,n^2]}(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1\leq x\leq n^2\\ 0 &\text{, se } x>n^2\end{cases}
\]
e ragionare un po' su cosa accade, per fissato $x\geq 1$, quando $n$ tende a $+oo$.
P.S.: Ricorda che $lim_n n^2=+oo$, cosicché, per definizione di limite, in corrispondenza di $K=x>0$ si può determinare \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che \( n>\nu\ \Rightarrow\ x
\[
\chi_{[1,n^2]}(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1\leq x\leq n^2\\ 0 &\text{, se } x>n^2\end{cases}
\]
e ragionare un po' su cosa accade, per fissato $x\geq 1$, quando $n$ tende a $+oo$.
P.S.: Ricorda che $lim_n n^2=+oo$, cosicché, per definizione di limite, in corrispondenza di $K=x>0$ si può determinare \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che \( n>\nu\ \Rightarrow\ x
tra il mio materiale ho trovato anche questo esercizio, molto molto simile, ma senza funzione caratteristica:
Calcolare il lim per $ n \rightarrow + \infty $ $((sen(nx))/x^2)(e^(-nx))$ .
Come sopra, $\exists g(x) : |fn(x)| \leq g(x) $.
Ancora come sopra, $g(x)=1/x^2$ , con $g(x)$ sommabile.
Poichè sussiste g(x) secondo Lebesgue posso scrivere
integrale da $1$ a $+ \infty $ del lim per $ n \rightarrow + \infty $ $((sen(nx))/x^2)(e^(-nx))$ .
Mi trovo nell'intervallo $[1,+\infty]$. Fissando $x=1$ il mio limite va a $0$.
Qualcosa non va nel calcolo del limite? ( probabile perchè analisi 2 l'ho fatto anni fa) Il procedimento è corretto o pseudocorretto?
Calcolare il lim per $ n \rightarrow + \infty $ $((sen(nx))/x^2)(e^(-nx))$ .
Come sopra, $\exists g(x) : |fn(x)| \leq g(x) $.
Ancora come sopra, $g(x)=1/x^2$ , con $g(x)$ sommabile.
Poichè sussiste g(x) secondo Lebesgue posso scrivere
integrale da $1$ a $+ \infty $ del lim per $ n \rightarrow + \infty $ $((sen(nx))/x^2)(e^(-nx))$ .
Mi trovo nell'intervallo $[1,+\infty]$. Fissando $x=1$ il mio limite va a $0$.
Qualcosa non va nel calcolo del limite? ( probabile perchè analisi 2 l'ho fatto anni fa) Il procedimento è corretto o pseudocorretto?
Visto che sono soddisfatte le ipotesi del TdL (vero? Le funzioni sono misurabili, o no? Perché?), hai:
\[
\lim_n \int_1^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x = \int_1^{+\infty} \Big( \lim_n f_n(x)\Big)\ \text{d}x\; .
\]
Ciò che rimane da fare è calcolare il limite puntuale q.o. delle $f_n$ ed integrare tale funzione sull'intervallo che ti interessa.
Per $x=1$, ok. Ma il resto?
\[
\lim_n \int_1^{+\infty} f_n(x)\ \text{d} x = \int_1^{+\infty} \Big( \lim_n f_n(x)\Big)\ \text{d}x\; .
\]
Ciò che rimane da fare è calcolare il limite puntuale q.o. delle $f_n$ ed integrare tale funzione sull'intervallo che ti interessa.
Per $x=1$, ok. Ma il resto?
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