Appartenenza Lp
Buongiorno a tutti,
Non ho ben chiaro come dovrei procedere per determinare per quali $p>0$ la seguente funzione appartiene a $Lp$ :
$f(x)=e^(-x^2)/(sqrt(|x|)$
Procedo ricercando $|f(x)|^p$ ma mi blocco quasi subito in quanto non riesco a ricondurmi ad una forma che mi permetta di determinare $p$.
Ringrazio per il sostegno e buona giornata.
Non ho ben chiaro come dovrei procedere per determinare per quali $p>0$ la seguente funzione appartiene a $Lp$ :
$f(x)=e^(-x^2)/(sqrt(|x|)$
Procedo ricercando $|f(x)|^p$ ma mi blocco quasi subito in quanto non riesco a ricondurmi ad una forma che mi permetta di determinare $p$.
Ringrazio per il sostegno e buona giornata.
Risposte
Ti è chiaro in quali punti devi andare a verificare che l'integrale converge?
Mi verrebbe da dire nello 0 ma non sono sicuro
Si in $0$ ma anche nei punti all'infinito, cosa hai provato a fare?
Ciao frat92ds,
Comincerei con l'osservare che nel caso specifico il modulo è inutile, perché la funzione integranda è sempre positiva (oltre che pari), per cui si ha:
$ [f(x)]^p = e^{-px^2}/|x|^{p/2} $
Per quali valori di $p > 0 $ quest'ultima è sommabile?
"frat92ds":
Procedo ricercando $ |f(x)|^p $ [...]
Comincerei con l'osservare che nel caso specifico il modulo è inutile, perché la funzione integranda è sempre positiva (oltre che pari), per cui si ha:
$ [f(x)]^p = e^{-px^2}/|x|^{p/2} $
Per quali valori di $p > 0 $ quest'ultima è sommabile?
Questo purtroppo non lo riesco a dedurre la consegna dell'esercizio dice :
Determina per quali $p>0$ la funzione appartiene a $Lp(IR)$
Determina per quali $p>0$ la funzione appartiene a $Lp(IR)$
Per definizione, hai che $f \in L^1(\mathbb{R})$ se converge l'integrale improprio
$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\text{d}x$$
Quindi il problema è praticamente un esercizio di analisi I, devi vedere per quali valori del parametro $p$ l'integrale
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-px^2}}{|x|^{p/2}}\text{d}x$$
Converge. Questo dovresti già saperlo fare se hai introdotto gli spazi $L^p$, ovviamente se hai dei dubbi ti aiutiamo. Ma ci vuole un tentativo di svolgimento, secondo me non è tanto sensato studiare queste cose se non si hanno chiarissimi gli integrali impropri.
$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|\text{d}x$$
Quindi il problema è praticamente un esercizio di analisi I, devi vedere per quali valori del parametro $p$ l'integrale
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-px^2}}{|x|^{p/2}}\text{d}x$$
Converge. Questo dovresti già saperlo fare se hai introdotto gli spazi $L^p$, ovviamente se hai dei dubbi ti aiutiamo. Ma ci vuole un tentativo di svolgimento, secondo me non è tanto sensato studiare queste cose se non si hanno chiarissimi gli integrali impropri.
Sicuramente dovrò ripassare gli integrali generalizzati.
Ringrazio comunque del supporto
Ringrazio comunque del supporto
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