Appartenenza funzione a spazi $L_p$
Ciao a tutti. Ho difficoltà con il seguente esercizio:
Determinare a quali spazi di Lebesgue $L_p(\mathbb{R})$, con $1 ≤ p ≤ ∞$, appartiene $f(x) ≡ {1 − cos x}/|x|^\alpha$ con $\alpha$ reale.
Per $\alpha<0$ la funzione non appartiene a nessuno spazio di Lebesque, poichè non è limitata.
Per $\alpha=0$ la funzione diventa $f(x) ≡ 1 − cos x$ che appartiene solo a $L_{\infty}(\mathbb{R})$, poichè ha un massimo in $2$.
Ma non capisco come agire per $\alpha>0$.
Potete, per favore, aiutarmi?
Il risultato del professore per $\alpha>0$ è il seguente:
Determinare a quali spazi di Lebesgue $L_p(\mathbb{R})$, con $1 ≤ p ≤ ∞$, appartiene $f(x) ≡ {1 − cos x}/|x|^\alpha$ con $\alpha$ reale.
Per $\alpha<0$ la funzione non appartiene a nessuno spazio di Lebesque, poichè non è limitata.
Per $\alpha=0$ la funzione diventa $f(x) ≡ 1 − cos x$ che appartiene solo a $L_{\infty}(\mathbb{R})$, poichè ha un massimo in $2$.
Ma non capisco come agire per $\alpha>0$.
Potete, per favore, aiutarmi?
Il risultato del professore per $\alpha>0$ è il seguente:
Risposte
È solo questione di fare un integrale improprio, no?
Grazie della risposta.
Devi imporre che l'integrale improprio \(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p\, dx\) sia convergente. Le difficoltà sono intorno a \(x=0\) e \(|x|\to \infty\). Intorno a zero, sviluppa il numeratore secondo Taylor e usa il cosiddetto "criterio del confronto asintotico". Otterrai una prima condizione su \(\alpha\). Ad infinito l'analisi è ancora più facile perché sostanzialmente il numeratore non ti serve a niente (lascio a te di formalizzare questa affermazione). Questo ti darà una seconda condizione su \(\alpha\).
Alla fine devi scrivere i valori di \(p\) per cui entrambe le condizioni sono verificate simultaneamente.
Alla fine devi scrivere i valori di \(p\) per cui entrambe le condizioni sono verificate simultaneamente.
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