Antitrasformata Z di una funzione razionale complessa
Buonasera a tutti 
Scrivo in merito di un esercizio che chiede di calcolare l'antitraformata Z di una funzione razionale complessa e il rispettivo raggio di convergenza.
La funzione da antitrasformare è $ F(z)= \frac{z^3+1}{z^4+1}$ con $z=x+iy$ e la soluzione è:
$ fn=(-1)^k$ per $ n=4k+1$ e $ n=4k+4$
$ fn=0$ Altrimenti
e per il raggio di convergenza si ha $ Rf=1$
Ora, per il raggio di convergenza non ci sono problemi e neppure per il calcolo del coefficiente $f0$ in quanto il punto $z=infty$ è uno zero di primo ordine per $F(Z)$ per cui si ha che $f0=0$, il problema è che provando a calcolare i coefficienti $fn$, validi per $n>=1$, con l'espressione $fn=1/(j2pi) * \int_\Gamma\frac{z^3+1}{z^4+1}*z^(n-1)dz$ devo calcolare i quattro residui relativi ai quattro poli semplici della funzione integranda nel punto$z=-2$ e lasciarli in funzione di n per poi sommarli e trovare quindi la soluzione al variare del parametro $n$, il problema è che il calcolo dei limiti dei residui portano a risultati che non riesco a modellare per arrivare alla soluzione proposta.
Chiedo quindi aiuto a voi per il calcolo di questa antitrasformata particolare, per sapere come arrivare alla soluzione proposta e vorrei anche sapere se esiste magari un metodo più agevole di cui siete a conoscenza per il calcolo delle antitrasformate Z che non prevede il calcolo dell'integrale su citato e quindi dei residui della funzione $F(z)$ in tutti i poli della stessa.
Vi ringrazio in anticipo per la lettura e mi scuso per l'esposizione poco formale del problema!
Buona serata
Scrivo in merito di un esercizio che chiede di calcolare l'antitraformata Z di una funzione razionale complessa e il rispettivo raggio di convergenza.
La funzione da antitrasformare è $ F(z)= \frac{z^3+1}{z^4+1}$ con $z=x+iy$ e la soluzione è:
$ fn=(-1)^k$ per $ n=4k+1$ e $ n=4k+4$
$ fn=0$ Altrimenti
e per il raggio di convergenza si ha $ Rf=1$
Ora, per il raggio di convergenza non ci sono problemi e neppure per il calcolo del coefficiente $f0$ in quanto il punto $z=infty$ è uno zero di primo ordine per $F(Z)$ per cui si ha che $f0=0$, il problema è che provando a calcolare i coefficienti $fn$, validi per $n>=1$, con l'espressione $fn=1/(j2pi) * \int_\Gamma\frac{z^3+1}{z^4+1}*z^(n-1)dz$ devo calcolare i quattro residui relativi ai quattro poli semplici della funzione integranda nel punto$z=-2$ e lasciarli in funzione di n per poi sommarli e trovare quindi la soluzione al variare del parametro $n$, il problema è che il calcolo dei limiti dei residui portano a risultati che non riesco a modellare per arrivare alla soluzione proposta.
Chiedo quindi aiuto a voi per il calcolo di questa antitrasformata particolare, per sapere come arrivare alla soluzione proposta e vorrei anche sapere se esiste magari un metodo più agevole di cui siete a conoscenza per il calcolo delle antitrasformate Z che non prevede il calcolo dell'integrale su citato e quindi dei residui della funzione $F(z)$ in tutti i poli della stessa.
Vi ringrazio in anticipo per la lettura e mi scuso per l'esposizione poco formale del problema!
Buona serata
Risposte
Vi aggiorno sul fatto che ho provato pure con un altro metodo,ma anche in questo caso nulla da fare, non sono riuscito a portare avanti i conti. In particolare ho provato a calcolare $fn= 1/(n!)*(del^n)/(delu^n) *G(u)$ posto $G(u)=F(1/u)$ per poi valutare la derivata in $u=0$, ma non riesco a effettuare il calcolo della derivata lasciando la dipendenza dal numero $n$.
Mi sa tanto che a questo giro ho finito le idee su come antitrasformare questa semplice funzione
Mi sa tanto che a questo giro ho finito le idee su come antitrasformare questa semplice funzione
Cos’è la trasformata $Z$?
È la somma di una serie di potenze inverse, tipo $F(z) := sum_(n=0)^oo (f(n))/z^n$.
Quindi per antitrasformare una funzione fratta ti basta svilupparla in potenze inverse di $z$: gli $f(n)$ sono i coefficienti dello sviluppo.
Nel caso in esame, hai $F(z) = (z^3 + 1)/(z^4 + 1) = (z^3 (1 + 1/z^3))/(z^4 (1 + 1/z^4)) = (1/z + 1/z^4) * 1/(1 + 1/z^4)$; il secondo fattore all’ultimo membro è la somma della serie geometrica di ragione $-1/z^4$, quindi $F(z) = (1/z + 1/z^4) * sum_(n=0)^oo ((-1)^n)/z^(4n)$. Di qui ti basta fare due conti con le potenze e con le sommatorie per trovare gli $f(n)$.
È la somma di una serie di potenze inverse, tipo $F(z) := sum_(n=0)^oo (f(n))/z^n$.
Quindi per antitrasformare una funzione fratta ti basta svilupparla in potenze inverse di $z$: gli $f(n)$ sono i coefficienti dello sviluppo.
Nel caso in esame, hai $F(z) = (z^3 + 1)/(z^4 + 1) = (z^3 (1 + 1/z^3))/(z^4 (1 + 1/z^4)) = (1/z + 1/z^4) * 1/(1 + 1/z^4)$; il secondo fattore all’ultimo membro è la somma della serie geometrica di ragione $-1/z^4$, quindi $F(z) = (1/z + 1/z^4) * sum_(n=0)^oo ((-1)^n)/z^(4n)$. Di qui ti basta fare due conti con le potenze e con le sommatorie per trovare gli $f(n)$.
Grazie gugo, sono riuscito a risolverla, alla fine, grazie al tuo aiuto
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