Antitrasformata di Laplace

[antonio21941]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in uno dei primi esercizi sulle trasformate di Laplace di un corso di metodi matematici. La traccia è la seguente: dire se le seguenti funzioni sono trasformate di Laplace di segnali e in caso positivo risalire al segnale

$ F_1(s)=(e^(-2s))/(s^2+2s+1) $
$ F_2(s)=(e^(-2s^2))/(s^2+2s+1) $

Dunque, so che una condizione necessaria affinché le funzioni siano trasformate di un segnale è che queste siano limitate in un semipiano $ Re(s)>sigma_0 $
La mia domanda è: come posso affermare con certezza che queste lo siano?

[gugo82]

Facendo un conto?

[antonio21941]

Non riesco comunque a venirne fuori; difatti so dallo svolgimento che $e^(-2s)/(s^2+2s+1)$ è limitata nel semipiano $Re(s)> -1$ mentre $e^(-2s^2)/(s^2+2s+1)$ non lo è. Penso che ciò sia dovuto all'esponente ma non mi viene nulla in mente per verificare con certezza quanto detto. Suppongo si debbano usare i limiti ma non sono riuscito a giustificare la risposta.

[Quinzio]

Si puo' intuire che non e' limitata perche' se
$ s= ib $
e
$b -> +oo$
allora
$ e^(-2s^2)/(s^2+2s+1) \approx - e^(2b^2)/(b^2) $

[gugo82]

Devi verificare se $|F_k(s)|$ è una funzione reale limitata superiormente in un semipiano del tipo detto sopra.

Chiaramente $|F_1(s)| = (|e^(-2s)|)/(|s+1|^2) = (e^(-2 text(Re)(s)))/(|s+1|^2)$ e si vede che è limitata in ogni semipiano del tipo $text(Re)(s) > s_0$ che non contenga il punto $s=-1$; quindi, ad esempio, $|F_1(s)|$ è limitata in $text(Re)(s) > -1$.

Per il resto, ha già risposto Quinzio.