Antitrasformata di Laplace
Buona sera a tutti, potreste aiutarmi ad antitrasformare la seguente funzione di Laplace ?? Con A = cost. e 1/tau = cost.
Grazie mille in anticipo.
Il risultato dovrebbe essere una cosa del genere, ma non riesco ad arrivarci.
Grazie mille in anticipo.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Il risultato dovrebbe essere una cosa del genere, ma non riesco ad arrivarci.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Risposte
Basta consultare la tabella delle trasformate notevoli e conoscere le principali proprietà della trasformata.
Dove trovi difficoltà?
Dove trovi difficoltà?
Ciao e grazie della risposta.
Ora ti dico come la penso e correggimi pure se sbaglio.
La funzione presenta una coppia di poli complessi coniugati s = +-jomega e un polo semplice.
Quindi ora scomponendo la funzione in fratti semplici mi ritrovo con 3 residui: B e B* e c.
Basta calcolare il residuo B per i poli complessi coniugati, in quanto poi si avrà nell'antitrasformata 2B.
Poi vado a calcolare il residuo C. Il risultato finale, però non è come sul libro, ma molto diverso.
Magari prova anche tu e vedi se ti viene. Grazie mille buona serata.
Ora ti dico come la penso e correggimi pure se sbaglio.
La funzione presenta una coppia di poli complessi coniugati s = +-jomega e un polo semplice.
Quindi ora scomponendo la funzione in fratti semplici mi ritrovo con 3 residui: B e B* e c.
Basta calcolare il residuo B per i poli complessi coniugati, in quanto poi si avrà nell'antitrasformata 2B.
Poi vado a calcolare il residuo C. Il risultato finale, però non è come sul libro, ma molto diverso.
Magari prova anche tu e vedi se ti viene. Grazie mille buona serata.
Devo dire la verità... Avevo visto un $-$ in mezzo a quella robaccia lì, ma invece sembra ci sia un prodotto $*$. 
La faccenda è un po' più complicata, ma niente di che: solo contazzi.
Dalla teoria sai che la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate, ergo il calcolo si può fare prendendo la convoluzione delle due antitrasformate.
Dalla tabella sai che:
\[
\begin{split}
Y_1(s) = \frac{As}{s^2+\omega^2} \qquad &\Rightarrow \qquad y_1(t) = A\cos (\omega t) u(t)\\
Y_2(s) = \frac{1/\tau}{s+1/\tau} \qquad &\Rightarrow \qquad y_2(t) = \frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} u(t)
\end{split}
\]
in cui $u(t)$ è il gradino unitario; dunque:
\[
Y(s)=Y_1(s)\cdot Y_2(s) \qquad \Rightarrow \qquad y(t) = y_1*y_2(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} y_1(x)*y_2(t-x)\ \text{d} x\; .
\]
Rimane da calcolare la $y$: abbiamo:
\[
y(t) = \frac{A}{\tau}\ e^{-t/\tau}\ \int_0^t \cos (\omega x)\ e^{x/\tau}\ \text{d} x
\]
con l'integrale al secondo membro che si calcola come integrale ciclico (due volte per parti)... Prova un po'.
Può darsi, poi, che ti serva qualche barbatrucco, tipo usare le formule di addizione di seno/coseno (come per il metodo dell'arco aggiunto nella soluzione delle equazioni goniometriche).
P.S.: Ma qual è il problema di Cauchy di partenza?
La faccenda è un po' più complicata, ma niente di che: solo contazzi.
Dalla teoria sai che la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate, ergo il calcolo si può fare prendendo la convoluzione delle due antitrasformate.
Dalla tabella sai che:
\[
\begin{split}
Y_1(s) = \frac{As}{s^2+\omega^2} \qquad &\Rightarrow \qquad y_1(t) = A\cos (\omega t) u(t)\\
Y_2(s) = \frac{1/\tau}{s+1/\tau} \qquad &\Rightarrow \qquad y_2(t) = \frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} u(t)
\end{split}
\]
in cui $u(t)$ è il gradino unitario; dunque:
\[
Y(s)=Y_1(s)\cdot Y_2(s) \qquad \Rightarrow \qquad y(t) = y_1*y_2(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} y_1(x)*y_2(t-x)\ \text{d} x\; .
\]
Rimane da calcolare la $y$: abbiamo:
\[
y(t) = \frac{A}{\tau}\ e^{-t/\tau}\ \int_0^t \cos (\omega x)\ e^{x/\tau}\ \text{d} x
\]
con l'integrale al secondo membro che si calcola come integrale ciclico (due volte per parti)... Prova un po'.
Può darsi, poi, che ti serva qualche barbatrucco, tipo usare le formule di addizione di seno/coseno (come per il metodo dell'arco aggiunto nella soluzione delle equazioni goniometriche).
P.S.: Ma qual è il problema di Cauchy di partenza?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo