Aiuto esercizio trasformata di Fourier?

[Omi1]

Salve a tutti, proprio oggi ho iniziato a studiare la trasformata di Fourier e mi sono imbattuto nel seguente esercizio. Calcolare la trasformata di Fourier di :
$ Lambda (t)= (1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] $
E qui mi sorgono i dubbi, perchè a questo punto il libro fa la derivata di $ Lambda (t) $ :
$ dLambda/dt=u(t+1)-2u(t)+u(t-1) $

E mi chiedo, come fa a fare la derivata della funzione di Heaviside?

Grazie a tutti in anticipo.

[ghira1]

"Omi":
E mi chiedo, come fa a fare la derivata della funzione di Heaviside?

Non è la $\delta$ di Dirac? ... Sembra di sì. https://mathworld.wolfram.com/Heaviside ... ction.html

[Omi1]

Il problema è che io ancora devo iniziare le distribuzioni e il prof. in questo esercizio non la scrive proprio...

[anonymous_0b37e9]

La funzione di cui devi determinare la trasformata di Fourier è semplicemente quella sottostante:

A questo punto, puoi determinarla anche calcolando esplicitamente l'integrale.

[Omi1]

Grazie per la risposta. Allora in pratica il prof per calcolare la trasformata mi fa applicare la seguente formula e cioè che $ F[dx/dt]=jwF[x(t)] $.

[anonymous_0b37e9]

Poiché la funzione di cui devi determinare la trasformata di Fourier è continua, la sua derivata non comprende alcuna delta di Dirac. Infatti:

$(d\Lambda)/(dt)=$

$=u(t+1)-u(t)+(1+t)[\delta(t+1)-\delta(t)]-u(t)+u(t-1)+(1-t)[\delta(t)-\delta(t-1)]=$

$=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)+(1+t)\delta(t+1)-(1-t)\delta(t-1)-2t\delta(t)=$

$=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)$

Tuttavia, se si procede mediante la derivata, riducendosi alla tabella delle trasformate di Fourier note, non è possibile fare a meno del concetto di distribuzione, visto che la trasformata di Fourier del gradino esiste solo nel senso delle distribuzioni. A meno che non si prenda la tabella come assodata.

[Omi1]

Ah ho capito, quindi se la funzione è continua si può anche procedere trattando il gradino come costante nella derivazione.. in questo caso è continua in tutto R giusto?

[anonymous_0b37e9]

Non puoi trattare il gradino come costante nella derivazione. Piuttosto, come ho scritto in precedenza:

$(d\Lambda)/(dt)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)+(1+t)\delta(t+1)-(1-t)\delta(t-1)-2t\delta(t)$

Le 3 delta scompaiono:

$(d\Lambda)/(dt)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)$

perché ognuna di esse:

$(1+t)\delta(t+1)$

$-(1-t)\delta(t-1)$

$-2t\delta(t)$

è moltiplicata per una fattore che si annulla nel supporto della delta medesima. Ad ogni modo, se non hai ancora affrontato le distribuzioni, non vedo come tu possa procedere se non mediante il calcolo esplicito:

$\int_{-oo}^{+oo}e^(i\omegat)\Lambda(t)dt=\int_{-1}^{0}e^(i\omegat)(1+t)dt+\int_{0}^{1}e^(i\omegat)(1-t)dt=2/\omega^2(1-cos\omega)$

Per comprendere il procedimento del libro, è necessario avere una certa dimestichezza con le distribuzioni. Insomma, visto che il docente non le ha ancora introdotte, ti conviene non anticipare i tempi.

[Omi1]

Ok chiaro, ti ringrazio sergeant, sei stato gentilissimo.

[anonymous_0b37e9]

Ad ogni modo, per completezza, poiché:

$F[u(t+\tau)]=e^(-i\omega\tau)[i/\omega+\pi\delta(\omega)]$

si ha:

$(d\Lambda)/(dt)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1) rarr$

$rarr F[(d\Lambda)/(dt)]=e^(-i\omega)[i/\omega+\pi\delta(\omega)]-2[i/\omega+\pi\delta(\omega)]+e^(i\omega)[i/\omega+\pi\delta(\omega)] rarr$

$rarr F[(d\Lambda)/(dt)]=[i/\omega+\pi\delta(\omega)](e^(-i\omega)-2+e^(i\omega)) rarr$

$rarr F[(d\Lambda)/(dt)]=i/\omega(e^(-i\omega)-2+e^(i\omega))$

Quindi:

$F[\Lambda(t)]=i/\omegaF[(d\Lambda)/(dt)] rarr$

$rarr F[\Lambda(t)]=-1/\omega^2(e^(-i\omega)-2+e^(i\omega)) rarr$

$rarr F[\Lambda(t)]=2/\omega^2(1-cos\omega)$

Buon proseguimento.