Aiuto con Trasformata Z

[Francikkk1]

Salve a tutti,
ho nuovamente un problema con una trasformata Z, questa volta per il calcolo della trasformata e non dell'anti trasformata. Qui sotto il testo con la soluzione dell'esercizio.




Ho provato a risolverla ma non so proprio come imporre la condizione su n ( $n=5k$ ), ho risolto esercizi dove la successione $f(n)$ assumeva valori diversi a seconda di n pari o dispari, ma in questo caso non so proprio come agire
Ho provato anche ad applicare qualche proprietà della trasformata Z, come quella di convoluzione, in particolare ho provato a vedere $f(n)=g(n)\otimes h(n)%$ con:
$g(n)= 4n$

$h(n)=$ \begin{cases} 1 & \mbox{se }n=5k \\ 0 & \mbox{se }n\neq5k\end{cases}

ma di nuovo arrivo allo stesso problema di prima
Sicuramente riproverò dopo a rifarlo, ma intanto chiedo un aiuto anche a voi che credo di essere completamente fuori strada!

Grazie a tutti in anticipo e buon fine settimana!

[Quinzio]

Quello che ti serve e' qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... riet%C3%A0

-> Proprieta' -> espansione temporale

-> Trasformate notevoli -> $n u[n]$

[Francikkk1]

Era davvero quello che mi mancava, grazie mille dell'aiuto!

[gugo82]

Ma dai… Non serve nulla fuori dalla definizione e da qualcosa di Analisi II per risolvere (proprio come l'altro esercizio).

Infatti:
\[
\begin{split}
F(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n}{z^n} \\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{f_{5k}}{z^{5k}} \\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{20k}{(z^5)^k} \\
&= 20\ \left. w\ \sum_{k=1}^\infty k w^{k-1} \right|_{w=1/z^5} \\
&= 20\ \left. w\ \frac{\text{d}}{\text{d} w} \left[ \frac{1}{1-w} \right] \right|_{w=1/z^5} \\
&= 20\ \frac{1}{z^5}\ \frac{1}{(1 - 1/z^5)^2} \\
&= \frac{20 z^5}{(z^5 - 1)^2}
\end{split}
\]