Additività numerabile della misura
Ciao a tutti, è il mio primo post in analisi superiore, mi sento un po' in soggezione 
L'argomento è la misura di Lebesgue: ho un dubbio sul seguente
Teo. Per ogni collezione numerabile ${E_k}_k$ di sottoinsiemi mutuamente disgiunti di $M(RR^n)$ si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)=sum_k^(oo)mu(E_k)$
Riporto due proposizioni che vengono utilizzate nella dimostrazione:
Prop 1. Un sottoinsieme $E$ di $RR^n$ è misurabile se e solo se per ogni $epsilon>0$ esiste un insieme chiuso $F$ in $E$ tale che $mu(E-F)
Prop 2. Se $d(D, E)>0$, allora $mu(DuuE)=mu(D)+mu(E)$
Riporto la prima parte della dimostrazione del teorema. Gli asterischi segnalano i punti per cui ho delle domande.
Supponiamo innanzitutto che tutti gli $E_k$ siano limitati. Fissato $epsilon>0$, a causa della subadditività di $mu$ basta mostrare che
$sum_k^(oo)mu(E_k)<=mu(uuu_k^(oo)E_k)+epsilon$ (*)
Per la Prop. 1, troviamo per ogni $k$ un chiuso $F_ksubeE_k$ con $mu(E_k-F_k)
$sum_kmu(E_k)<=sum_k(mu(F_k)+mu(E_k-F_k))<=sum_k(mu(F_k)+epsilon2^-k)$ (***) (to be continued)
(*) La subadditività dice che per collezioni numerabili di insiemi si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)<=sum_k^(oo)mu(E_k)$. Per dimostrare l'uguaglianza non dovrei considerare semplicemente $mu(uuu_k^(oo)E_k)>=sum_k^(oo)mu(E_k)$?
(**) Da dove arriva $epsilon2^-k$? E' solo per questione di comodità, dato che spezzando la serie si ha $epsilonsum_k2^(-k)=epsilon$?
(***) Per la prima disuguaglianza: evidentemente $E_k=F_kuu(E_k-F_k)$; perché posso maggiorare? E' per la subadditività della misura?
Grazie a chiunque saprà rispondere...
L'argomento è la misura di Lebesgue: ho un dubbio sul seguente
Teo. Per ogni collezione numerabile ${E_k}_k$ di sottoinsiemi mutuamente disgiunti di $M(RR^n)$ si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)=sum_k^(oo)mu(E_k)$
Riporto due proposizioni che vengono utilizzate nella dimostrazione:
Prop 1. Un sottoinsieme $E$ di $RR^n$ è misurabile se e solo se per ogni $epsilon>0$ esiste un insieme chiuso $F$ in $E$ tale che $mu(E-F)
Prop 2. Se $d(D, E)>0$, allora $mu(DuuE)=mu(D)+mu(E)$
Riporto la prima parte della dimostrazione del teorema. Gli asterischi segnalano i punti per cui ho delle domande.
Supponiamo innanzitutto che tutti gli $E_k$ siano limitati. Fissato $epsilon>0$, a causa della subadditività di $mu$ basta mostrare che
$sum_k^(oo)mu(E_k)<=mu(uuu_k^(oo)E_k)+epsilon$ (*)
Per la Prop. 1, troviamo per ogni $k$ un chiuso $F_ksubeE_k$ con $mu(E_k-F_k)
$sum_kmu(E_k)<=sum_k(mu(F_k)+mu(E_k-F_k))<=sum_k(mu(F_k)+epsilon2^-k)$ (***) (to be continued)
(*) La subadditività dice che per collezioni numerabili di insiemi si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)<=sum_k^(oo)mu(E_k)$. Per dimostrare l'uguaglianza non dovrei considerare semplicemente $mu(uuu_k^(oo)E_k)>=sum_k^(oo)mu(E_k)$?
(**) Da dove arriva $epsilon2^-k$? E' solo per questione di comodità, dato che spezzando la serie si ha $epsilonsum_k2^(-k)=epsilon$?
(***) Per la prima disuguaglianza: evidentemente $E_k=F_kuu(E_k-F_k)$; perché posso maggiorare? E' per la subadditività della misura?
Grazie a chiunque saprà rispondere...
Risposte
"Gustav Wittgenstein":
[...] (*) La subadditività dice che per collezioni numerabili di insiemi si ha $mu(uuu_k^(oo)E_k)<=sum_k^(oo)mu(E_k)$. Per dimostrare l'uguaglianza non dovrei considerare semplicemente $mu(uuu_k^(oo)E_k)>=sum_k^(oo)mu(E_k)$? [...]
E' un trucco che si usa spesso in Analisi: se devi dimostrare che \( f \le g\), "rilassi" il problema mostrando che \(f \le g + \epsilon\) per ogni \(\epsilon >0 \), e appunto concludi per l'arbitrarietà di \(\epsilon \).
"Gustav Wittgenstein":
[...] (**) Da dove arriva $epsilon2^-k$? E' solo per questione di comodità, dato che spezzando la serie si ha $epsilonsum_k2^(-k)=epsilon$? [...]
Esatto.
"Gustav Wittgenstein":
[...] (***) Per la prima disuguaglianza: evidentemente $E_k=F_kuu(E_k-F_k)$; perché posso maggiorare? E' per la subadditività della misura? [...]
Esatto.
Capisco. Grazie mille per la risposta.
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