Unicità soluzione ottimale di un PL

[Raphael1]

Ciao,

a lezione ci è stato detto di pensare alla seguente domanda e provare a scrivere una dimostrazione.

la domanda è : Data $x$ una soluzione basica accettabile del problema $min c^t x:Ax=b, x>=0$, quando è $x$ l'unica soluzione?

Ho provato a ragionarci un po', e mi verrebbe da dire che la soluzione è unica se, avendola trovata con l'algoritmo del simplesso, ho che i nuovi coefficienti della funzione obiettivo per le variabili non basiche sono strettamente positivi, perchè penso che in tal caso, qualsiasi cosa cerchi di fare, non potrei trovare una soluzione migliore. Solo che non so se è giusto e come poterlo dimostrare, mi potreste aiutare?

Grazie

[Megan00b]

Da quel che ricordo è così. PIù in generale se i coefficienti sono negativi vuol dire che la soluzione trovata non è ottima perchè muovendosi lungo qualche direzione la funzione decresce, se almeno un coefficiente è nullo e gli altri sono positivi vuol dire che la soluzione trovata è ottima ma non è l'unica perchè quella trovata è solo un punto di un'intera faccia composta di soluzioni ottime e se i coefficienti sono strettamente positivi vuol dire che lungo qualunque direzione ci si muova la funzione cresce dunque quella è la sola soluzione ottima. Posso ricordare male quindi controlla.

[Raphael1]

Grazie... ora però il mio problema è che non so come dimostrarlo scrivendolo in un modo che non sia a parole...

[Megan00b]

Se hai una soluzione ottima e supponi che ce ne sia un'altra mostri che muovendoti dalla prima alla seconda la funzione cresce. Dunque possono essere entrambe ottime solo se coincidono. Traducilo in formule.