Unicità del polinomio di interpolazione

compa90
Buongiorno vorrei chiarire con voi il mio problema inerente all'unicità del polinomio di interpolazione.
Riporto l'enunciato del teorema con dimostrazione di unicità del polinomio di interpolazione di Lagrange.

Enunciato: Siano $n+1$ nodi distinti $ (x_i) \ i=0,1,...,n$ ed $n+1$ valori corrispondenti $ (y_i) \ i=0,1,...,n$.
Sia $p$ il polinomio di interpolazione di grado al più $m$ cioè

$p(x_i)=y_i, \ i=0,1,...,n, \quad p \in P_m$

è unico se $m=n $

Dimostrazione: Considero due polinomi $q,r \in P_n$ di interpolazione, cioè $q(x_i)=y_i=r(x_i), i=0,1,...,n.$
Sia ora il polinomio differenza $d(x):=q(x)-r(x)$. Quest'ultimo è per costruzione anch'esso un polinomio di grado al più $n$, e si annulla $n+1$ volte su $x_i$, con $i=0,1,...,n$.
Dall'altra parte per il Teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado al più $n$ ammette $n$ zeri distinti, quindi, il polinomio differenza deve essere necessariamente il polinomio nullo, dunque, dal principio di identità dei polinomi segue che $q(x)=r(x)$ , pertanto vi è un solo polinomio di interpolazione.
Fine dimostrazione.

La dimostrazione mi è chiara (se ci sono errori fatemelo presente), però il mio dubbio è: tale dimostrazione non vale anche nel caso in cui $m=n-1$ oppure $m=n+1$, ora senza ripercorrere tutta la dimostrazione considero l'ultima parte, quindi, suppongo che $q,r \in P_{n-1}$,
Dall'altra parte per il Teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado al più $n-1$ ammette $n-1$ zeri distinti, quindi, il polinomio differenza deve essere necessariamente il polinomio nullo, perché si annulla $n+1$ volte, dunque, dal principio di identità dei polinomi segue che $q(x)=r(x)$, quindi, vi sono due polinomi che interpolano i dati ma di gradi diversi. Simile potrei dire per $m=n+1$, quindi, dove sbaglio ?

Saluti.

Risposte
otta96
Se prendi un grado troppo basso non riesci a interpolare a meno di una scelta specifica dei nodi, se l prendi troppo alto rimane un parametro di libertà che ti permetterebbe di interpolare un altro nodo e quindi salta l'unicità.

compa90
Ciao, faccio questo ragionamento, dimmi se è corretto:

Per semplicità suppongo di avere, due punti $P_1=(x_0,y_0), P_2=(x_1,y_1)$, con $x_0\ne x_1$.
Il problema è di determinare il grado $m \in NN_0$ di $p(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m$ in modo da soddisfare le condizioni di interpolazione $p(x_0)=y_0, p(x_1)=y_1$.In tal caso ho $n=1$, e $m\ge 0$.

Caso $m=0\nen$, quindi $p(x)=a_0$, in tal caso sono soddisfatte le condizione di interpolazione se $y_0=a_0=y_1$
Caso $m=1=n$, quindi $p(x)=a_0+a_1x$, in tal caso sono soddisfatte le condizioni di interpolazione poiché, per due punti passo una sola retta.
Caso $m=2>1=n$ quindi si ha $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$, quindi, imponendo le condizioni di interpolazione si determina il sistema $Va=y$, dove in forma esplicita

[tex]\begin{cases}
a_0+ a_1x_0 + a_2x_0^2=y_0 \\
a_0+ a_1x_1 + a_2x_1^2=y_1 \\
\end{cases}[/tex]


le nostre incognite sono $a_0,a_1,a_2$, quindi la matrice $V$, è

$$
\begin{vmatrix}
1 & x_0 & x_0^2\\
1 & x_1 & x_1^2\\
\end{vmatrix}
$$

la matrice completa è
\begin{vmatrix}
1 & x_0 & x_0^2|y_0\\
1 & x_1 & x_1^2|y_1\\
\end{vmatrix}
$$

Ora si ha $r(V)\le mbox{min}(2,3)$ e $r(V|y)\le mbox{min}(2,4)$, per cui $r(V), r(V|y) \le 2$.
Dal teorema di R.C. si ha che il sistema ammette soluzioni se e solo se $r(V)=r(V|y)$, ed in tal caso ammette $∞^{3-r}$, dove $r:=r(V)=r(V|y)$, poiché $r\le 2$ allora non vi è unicità, perché l'unicità è data quando $r=3$.


Può andare bene come discussione ?

Ciao

otta96
Si, l'esempio che hai fatto fa capire bene come vanno le cose anche in generale.

compa90
Grazie per le risposte.

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