Teo. Fondamentale della PL
Ciao a tutti! Ho difficoltà a comprendere un passaggio della dimostrazione riguardante:" se esiste una direzione d di X tale che c^t d>0 allora il problema (per hp di max) è illimitato superiormente". La dimostrazione è la seguente: 
Nello specifico non comprendo perché lamba assuma quel valore.
Scusate il disturbo e un mille grazie a chi mi da un piccolo aiutino!
Nello specifico non comprendo perché lamba assuma quel valore.
Scusate il disturbo e un mille grazie a chi mi da un piccolo aiutino!
Risposte
Ti provo a dire ciò che penso io ma prendi il tutto con il dovuto senso critico dato che anche io sono uno studente!
Il fatto che esista un punto di ottimo $x^**$ ti permette di dire che:
$c^T x^** >= c^T x$ $AAx$, ovviamente ammissibile.
Quindi, immagino questo derivi dalla convessità dell'insieme, puoi dire che:
$bar x=x+\lambda d$ con $\lambda>0$ e anche $bar x in S$ se con $S$ è detta la regione ammissibile.
Quindi a questo punto cerchi un $\lambda$ che ti dimostri che la condizione che hai detto sia vera (ovvero l'esistenza di un massimo) sia assurda. Sfruttando il fatto che per ipotesi $c^Td>0$ e che $x^**$ è un massimo puoi scegliere un $\lambda$ come fa il testo (è di convenienza, perchè serve al fine della dimostrazione). Tale scelta garantisce che $\lamda >0$ e quindi si può riscrivere che:
$\lambda> (c^T (x^**-x))/(c^Td)$ che può per l'appunto essere riscritta come:
$\lambda c^T d> c^T (x^** - x)$ ovvero:
$c^Tx^**
Ovvero stai dicendo che al punto che hai supposto essere di ottimo è associato un valore della f.o. minore di quello di un altro punto ammissibile. Quindi evidentemente l'ipotesi che $x^**$ fosse un ottimo è assurda se $c^Td>0$.
Quindi, cercando di rispondere alla tua domanda:
$d$ è semplicemente una direzione di salita mentre $\lambda$ assume quel valore perché semplicemente vuoi giungere a dimostrare l'opposto e quindi prendi un valore ammissibile di $\lambda$ e dimostri che per quel valore l'ipotesi non vale. Come dice il testo invece ciò deve valere $AA \lambda>=0$.
Se continui ad avere dei dubbi...ti consiglio di chiedere al professore. Sicuramente è la scelta migliore...
Il fatto che esista un punto di ottimo $x^**$ ti permette di dire che:
$c^T x^** >= c^T x$ $AAx$, ovviamente ammissibile.
Quindi, immagino questo derivi dalla convessità dell'insieme, puoi dire che:
$bar x=x+\lambda d$ con $\lambda>0$ e anche $bar x in S$ se con $S$ è detta la regione ammissibile.
Quindi a questo punto cerchi un $\lambda$ che ti dimostri che la condizione che hai detto sia vera (ovvero l'esistenza di un massimo) sia assurda. Sfruttando il fatto che per ipotesi $c^Td>0$ e che $x^**$ è un massimo puoi scegliere un $\lambda$ come fa il testo (è di convenienza, perchè serve al fine della dimostrazione). Tale scelta garantisce che $\lamda >0$ e quindi si può riscrivere che:
$\lambda> (c^T (x^**-x))/(c^Td)$ che può per l'appunto essere riscritta come:
$\lambda c^T d> c^T (x^** - x)$ ovvero:
$c^Tx^**
Ovvero stai dicendo che al punto che hai supposto essere di ottimo è associato un valore della f.o. minore di quello di un altro punto ammissibile. Quindi evidentemente l'ipotesi che $x^**$ fosse un ottimo è assurda se $c^Td>0$.
Quindi, cercando di rispondere alla tua domanda:
$d$ è semplicemente una direzione di salita mentre $\lambda$ assume quel valore perché semplicemente vuoi giungere a dimostrare l'opposto e quindi prendi un valore ammissibile di $\lambda$ e dimostri che per quel valore l'ipotesi non vale. Come dice il testo invece ciò deve valere $AA \lambda>=0$.
Se continui ad avere dei dubbi...ti consiglio di chiedere al professore. Sicuramente è la scelta migliore...
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