Risoluzione grafica problema di PL
Posto questo esempio.
In pratica la traccia chiede di determinare una nuova funzione obiettivo a questo problema di PL in modo da rendere la funzione obiettivo con ottimo illimitato.
Non riesco a capire l'esempio.
Perchè la funzione obiettivo :
$ min z = -x1 -x2 $
risulta avere ottimo illimitato ?
perchè nei vincoli di negatività abbiamo $ x1, x2 >= 0 $ ??
Un altro esempio di ottimo illimitato non è impostare come funzione obiettivo una funzione $ max $ avendo una regione ammissibile illimitata?
Esempio :
$ max z= 2x1+ x2 $
sbaglio qualcosa? Faccio confusione ?
Grazie in anticipo a chi spenderà qualche minuto del suo tempo per aiutarmi.
Risposte
te hai una funzione $min -(x1+x2)$ no? siccome il poliedro è illimitato, andando verso infinito (positivo) su entrambe le variabili la funzione obiettivo come puoi vedere diventa sempre più negativa, che va bene perché stai minimizzando (e stai rispettando i vincoli). E' un esempio semplice spero di averti chiarito i dubbi 
Uhm , si per grandi linee .. Ma sono ancora dubbioso :
provo a spiegarti le mie "convinzioni" che credo mi portano a confondere.
Capito il concetto che più prendo $ x1,x2 $ positive sempre più grandi e più la funzione obiettivo $ z= -X $ diventa sempre più negativa. Ok.
Facciamo un esempio concreto :
$min−(x1+x2)$
$x1 = 3 ; x2 =2$
Se vado a disegnare il gradiente $ (3,2)$ ottengo una "direzione" verso l'infinito(positivo).
Ora siccome il problema è di minimizzare, devo tracciare tutte le perpendicolari al gradiente che vanno da X,Y positivi<-verso l'origine e prendere l'ultima perpendicolare che tocca il vertice della regione ammissibile $(1,0)$. Giusto??
Quindi l'ottimo dovrebbe essere appunto$ (1,0) $ e non ottimo illimitato. Per questo non capisco.(O comunque questo è quel che,sicuramente in maniera sbagliata, è giusto dentro di me)
Fatta una bozza grafica con Paint
in 2 secondi per rendere l'idea : [img]http://desmond.imageshack.us/Himg268/scaled.php?server=268&filename=minj.png&res=medium[/img]
questo è quel che "credo" io con la funzione $ min-(x1+x2)$ però invece tu cercavi di spiegarmi che ha ottimo illimitato.Non sono riuscito a capire.
Mentre altro esempio, pongo la funzione obiettivo di max.
$ maxz=2x1+x2 $???(e' illimitata anche questa??)
gradiente = $ (2,1)$
tracciando le perpendicolari che vanno dall'orgine verso ->X,Y positivi essendo la ragione ammissibile illimitata quindi "aperta" non ci sono vertici su cui cade la perpendicolare del grandiente,quindi l'ottimo è illimitato.
[img]http://desmond.imageshack.us/Himg839/scaled.php?server=839&filename=minyd.png&res=medium[/img]
Questa invece per me ha ottimo illimitato, forse sto sbagliando tutto ma ho riportato graficamente quel che è la mia convinzione.
Ho riportato graficamente al punto da "rendermi ridicolo", ma preferisco capire che dire di aver capito e invece rimanere con dubbi e lacune.
Forse così ho fatto passare quale sono dentro di me le mie convinzioni che mi portano a confondere/sbagliare.
Riusciresti ad aiutarmi a capire dove sbaglio nei miei ragionamenti?
Grazie "illimitatamente"
provo a spiegarti le mie "convinzioni" che credo mi portano a confondere.
Capito il concetto che più prendo $ x1,x2 $ positive sempre più grandi e più la funzione obiettivo $ z= -X $ diventa sempre più negativa. Ok.
Facciamo un esempio concreto :
$min−(x1+x2)$
$x1 = 3 ; x2 =2$
Se vado a disegnare il gradiente $ (3,2)$ ottengo una "direzione" verso l'infinito(positivo).
Ora siccome il problema è di minimizzare, devo tracciare tutte le perpendicolari al gradiente che vanno da X,Y positivi<-verso l'origine e prendere l'ultima perpendicolare che tocca il vertice della regione ammissibile $(1,0)$. Giusto??
Quindi l'ottimo dovrebbe essere appunto$ (1,0) $ e non ottimo illimitato. Per questo non capisco.(O comunque questo è quel che,sicuramente in maniera sbagliata, è giusto dentro di me)
Fatta una bozza grafica con Paint
in 2 secondi per rendere l'idea : [img]http://desmond.imageshack.us/Himg268/scaled.php?server=268&filename=minj.png&res=medium[/img]questo è quel che "credo" io con la funzione $ min-(x1+x2)$ però invece tu cercavi di spiegarmi che ha ottimo illimitato.Non sono riuscito a capire.
Mentre altro esempio, pongo la funzione obiettivo di max.
$ maxz=2x1+x2 $???(e' illimitata anche questa??)
gradiente = $ (2,1)$
tracciando le perpendicolari che vanno dall'orgine verso ->X,Y positivi essendo la ragione ammissibile illimitata quindi "aperta" non ci sono vertici su cui cade la perpendicolare del grandiente,quindi l'ottimo è illimitato.
[img]http://desmond.imageshack.us/Himg839/scaled.php?server=839&filename=minyd.png&res=medium[/img]
Questa invece per me ha ottimo illimitato, forse sto sbagliando tutto ma ho riportato graficamente quel che è la mia convinzione.
Ho riportato graficamente al punto da "rendermi ridicolo", ma preferisco capire che dire di aver capito e invece rimanere con dubbi e lacune.
Forse così ho fatto passare quale sono dentro di me le mie convinzioni che mi portano a confondere/sbagliare.
Riusciresti ad aiutarmi a capire dove sbaglio nei miei ragionamenti?
Grazie "illimitatamente"
Ragazzi salve a tutti e buona domenica,
non sono ancora riuscito a risolvere i miei dubbi su questa questione. Anche se ho girovagato su diversi siti di università e materiale vario. Purtroppo non ho trovato qualcosa che esplicita anche graficamente per meglio rendere l'idea.
Qualcuno che riesce ad aiutarmi ??
Grazie in anticipo !
non sono ancora riuscito a risolvere i miei dubbi su questa questione. Anche se ho girovagato su diversi siti di università e materiale vario. Purtroppo non ho trovato qualcosa che esplicita anche graficamente per meglio rendere l'idea.
Qualcuno che riesce ad aiutarmi ??
Grazie in anticipo !
"gamer07":
Ragazzi salve a tutti e buona domenica,
non sono ancora riuscito a risolvere i miei dubbi su questa questione. Anche se ho girovagato su diversi siti di università e materiale vario. Purtroppo non ho trovato qualcosa che esplicita anche graficamente per meglio rendere l'idea.
Qualcuno che riesce ad aiutarmi ??
Grazie in anticipo !
secondo me hai un dubbio un po' più profondo, derivato dall'analisi (lo avevo pure io, non lo nego, tempo fa).
Nel primo esempio: la direzione del gradiente è nel nel terzo quadrante nel piano. Ora secondo te è in direzione di crescita o decrescita andando verso l'infinito negativo? (rileggi bene il post di Blackorgasm e pensa alla definizione di gradiente e tutto ti sia aprirà) un altro modo invece di ragionare in piano, utilizza un plotter qualsiasi e disegna la funzione obbiettivo così avrai una visione più ampia, ti aiuterà più di lunghi post
"hamming_burst":
secondo me hai un dubbio un po' più profondo, derivato dall'analisi (lo avevo pure io, non lo nego, tempo fa).
Nel primo esempio: la direzione del gradiente è nel nel terzo quadrante nel piano. Ora secondo te è in direzione di crescita o decrescita andando verso l'infinito negativo? (rileggi bene il post di Blackorgasm e pensa alla definizione di gradiente e tutto ti sia aprirà)
Gradiente : rappresenta quindi la direzione di massimo incremento di una funzione di n variabili f{(x_1,x_2,...,x_n)}
Bhe la direzione del gradiente va verso il III quadrante dove $ x1,x2 $ sono negative. Crescendo i valori delle $x$ aumenta il valore negativo quindi il valore della funzione và verso l'infinito negativo.E fin quì Ok.
Ma non mi è chiaro perchè l'ottimo è illimitato ??
Tracciando le perpendicolari al gradiente e dovendo minimizzare esiste un vertice nel I quadrante formato dall'ascissa e dal secondo vincolo del problema che io considero il punto di ottimo. E' quì il problema. Questo non riesco a capire, non mi è chiaro. Perchè questo punto NON è il punto di ottimo ??
Scusami hamming se sono "duro di capoccia" ma alla fine son quì per imparare e capire.
Nel secondo esempio chiedo: è giusto che lì con quella funzione obiettivo ($ maxz=2x1+x2 $) l'ottimo sia illimitato??
Più i valori delle $x$ aumentano e' più si va verso l'infinito positivo. Essendo il poliedro aperto e andando verso la zona "non chiusa" in quanto la funzione dice di massimizzare mi sembra che il discorso non faccia una piega. Mi sbaglio?(Ti prego correggimi se sbaglio oppure affermami che è giusto).
Insomma per capirci, la regione ammissibile è nel I quadrante. Quindi nel primo esempio faccio fatica a capire perchè non sia il vertiche sulla ascissa formato con il vincolo il punto di ottimo.
"gamer07":
Bhe la direzione del gradiente va verso il III quadrante dove $ x1,x2 $ sono negative. Crescendo i valori delle $x$ aumenta il valore negativo quindi il valore della funzione và verso l'infinito negativo.E fin quì Ok.
Ma non mi è chiaro perchè l'ottimo è illimitato ??
ma scusa ti sei già risposto...
Se con il variare di $x,y$ crescenti, il valore obbiettivo è sempre negativo. Perciò se minimizzi l'ottimo non è il punto $(1,0)$ con valore $-1$, ma è il massimo in questo caso. Il minimo sarà verso l'infinito. La quota è sempre più negativa perciò verso infinito positivo il valore è sempre più negativo perciò il minimo è tutto l'infinito (lasciando i formalismi fuori dalla porta
).Nel secondo esempio chiedo: è giusto che lì con quella funzione obiettivo ($ maxz=2x1+x2 $) l'ottimo sia illimitato??
Più i valori delle $x$ aumentano e' più si va verso l'infinito positivo. Essendo il poliedro aperto e andando verso la zona "non chiusa" in quanto la funzione dice di massimizzare mi sembra che il discorso non faccia una piega. Mi sbaglio?(Ti prego correggimi se sbaglio oppure affermami che è giusto).
giusto. E' il contrario del primo esercizio.
La funziona obbiettivo nel metodo grafico con due variabili è un piano (semi-piano se tieni conto dei vincoli), fa da "tappo" hai vincoli. Il gradiente da la direzione di crescita (ma guarda un po'
) segui la freccia e capirai dove andare, se massimizzi segui la direzione indicata se minimizzi fai il contrario.Vedi il plotting di queste funzioni (con wolfram per esser veloci):
- [*:1rqjfcvg]f(x,y)=-x-y[/*:m:1rqjfcvg]
[*:1rqjfcvg]f(x,y)=2x+y[/*:m:1rqjfcvg][/list:u:1rqjfcvg]
vedi se così è più chiaro.
Scusami hamming se sono "duro di capoccia" ma alla fine son quì per imparare e capire.
nessun problema, in un modo o nell'altro tutti han iniziato da qualche parte...
"hamming_burst":
[quote="gamer07"]
Bhe la direzione del gradiente va verso il III quadrante dove $ x1,x2 $ sono negative. Crescendo i valori delle $x$ aumenta il valore negativo quindi il valore della funzione và verso l'infinito negativo.E fin quì Ok.
Ma non mi è chiaro perchè l'ottimo è illimitato ??
ma scusa ti sei già risposto...
Se con il variare di $x,y$ crescenti, il valore obbiettivo è sempre negativo. Perciò se minimizzi l'ottimo non è il punto $(1,0)$ con valore $-1$, ma è il massimo in questo caso. Il minimo sarà verso l'infinito. La quota è sempre più negativa perciò verso infinito positivo il valore è sempre più negativo perciò il minimo è tutto l'infinito (lasciando i formalismi fuori dalla porta
).[/quote]Ecco il punto chiave :
Perciò se minimizzi l'ottimo non è il punto $(1,0)$ con valore $-1$, ma è il massimo in questo caso. Il minimo sarà verso l'infinito
Penso di aver capito dove faccio confusione. In pratica io prendo in considerazione solo la regione di ammissibilità( il I quadrante).
Quindi in questo caso di minimo "si va nella direzone del gradiente" . Di massimo nella direzione opposta. Giusto??(in questo caso)
Infatti nel secondo esempio dici :
"hamming_burst":
Il gradiente da la direzione di crescita (ma guarda un po'
bhe nel secondo esempio devo massimizzare quindi seguo il gradiente. il max è infinito positivo, il minimo è il punto (1,0) circa. Se dovevo minimizzare e il gradiente era quello del secondo esempio, allora il punto di ottimo era unico ed era (1,0) giusto??
Cioè diciamo "non è una regola fissa" il fatto che se devo massimizzare devo andare nella direzione del gradiente??
Ecco il punto chiave, correggimi se sbaglio.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel I quadrante allora devo seguire la direzione del gradiente.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel III quadrante allora devo andare nella direzione opposta al gradiente.
Se devo minimizzare e il gradiente è nel I quadrante allora devo andare nella direzione opposta al gradiente.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel III quadrante allora devo seguire la direzione del gradiente.
Ho scritto eresie ??
(In caso di risposta negativa a questa domanda credo che siamoa all'epilogo
) Grazie mille davvero
"hamming_burst":
[quote="gamer07"]
Scusami hamming se sono "duro di capoccia" ma alla fine son quì per imparare e capire.
nessun problema, in un modo o nell'altro tutti han iniziato da qualche parte...[/quote]
già sarà banale per voi ma io ci sto sbattendo un bel pò
Penso di aver capito dove faccio confusione. In pratica io prendo in considerazione solo la regione di ammissibilità( il I quadrante).
sì
Quindi in questo caso di minimo "si va nella direzone del gradiente" . Di massimo nella direzione opposta. Giusto??(in questo caso)
Infatti nel secondo esempio dici :
....
Cioè diciamo "non è una regola fissa" il fatto che se devo massimizzare devo andare nella direzione del gradiente??
Ecco il punto chiave, correggimi se sbaglio.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel I quadrante allora devo seguire la direzione del gradiente.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel III quadrante allora devo andare nella direzione opposta al gradiente.
Se devo minimizzare e il gradiente è nel I quadrante allora devo andare nella direzione opposta al gradiente.
Se devo massimizzare e il gradiente è nel III quadrante allora devo seguire la direzione del gradiente.
Ho scritto eresie ??
(In caso di risposta negativa a questa domanda credo che siamoa all'epilogo
No!
Gradiente : rappresenta quindi la direzione di massimo incremento di una funzione di n variabili f{(x_1,x_2,...,x_n)}
la direzione del gradiente indica dove cresce la funzione. Se massimizzi perchè dovresti andare alla parte opposta, dove la funzione decresce...
La regola è fissa:
- massimizzi: segui la direzione del gradiente perchè andrai dove il valore della funzione cresce (con il discorso delle curve di livello perpendicolari, ecc...)
- minimizzi: segui la direzione opposta del gradiente perchè andrai dove il valore della funzione decresce.
"gamer07":
già sarà banale per voi ma io ci sto sbattendo un bel pò
pure io all'inizio, è tutta questione di astrazione.
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