Riflessioni di Householder

[dissonance]

Le matrici di Householder sono particolari matrici elementari, di tipo $I-beta v v^H$, dove $v\inCC^n, v\ne0$ e $beta=2/(v^Hv)$. Queste matrici sono unitarie, hermitiane, e geometricamente sono associate alla riflessione di asse l'iperpiano $v^(\bot)$. La proprietà più importante è questa: dato un vettore $x\inCC^n$ non nullo, c'è una matrice di Householder $P$ t.c. $Px=alphae_1$, dove $alpha\inCC$. Ma come dimostrare questo fatto? Non ci riesco... Anche sapendo già che dovrò prendere $v=x-alphae_1$, e $alpha=x_1/(|x_1|)$ oppure $alpha=1$ (se $x_1=0$), non ci arrivo. Una mano?

[Nidhogg]

Premettendo, per precisione, che $alpha in CC\{0}$, la dimostrazione consiste nel determinare le quantità di $v$ e di $alpha$.

Per quanto riguarda $alpha$, dato che $P$ è una matrice unitaria ed hermitiana devono essere verificate le due condizioni...

Per $v$ si ha: $Px=alpha e_1 rArr (betav*x)v=x-alpha e_1$. Ponendo $v=x-alpha e_1$ ottieni la soluzione del problema...

Spero di averti indirizzato sulla strada...se ancora qualcosa risultasse oscuro, chiedi pure...


Saluti, Ermanno.

[dissonance]

Hai fatto bene a scrivere questi passaggi, infatti è proprio a quel punto che mi blocco! Secondo i miei calcoli infatti non c'è soluzione a quell'equazione, dal momento che $beta=2/(v^Hv)$ per definizione di matrice di Householder.

Mi spiego: supponiamo $x!=0, x-alphae_1!=0$ (se $x=alphae_1$ c'è poco da fare). Essendo $P$ hermitiana e unitaria, capisco che $alpha=+-||x||_2*theta$, dove $theta={(x_1/(|x_1|), x_1!=0), (1, x_1=0):}$. Adesso dobbiamo determinare $v, beta$. A questo scopo scriviamo $Px=(I-betav v^H)x=alphae_1$. Arriviamo all'equazione che citavi anche tu :
$(betav^Hx)v=x-alphae_1$.
Dal momento che $x-alphae_1!=0$, dovremo avere $v\in"span"(x-alphae_1)$. Perciò, se poniamo $v:=x-alphae_1$, deve essere $betav^Hx=1$.

I miei dubbi sono allora:
1) Chi ci dice che $v^Hx=(x-alphae_1)^Hx!=0$?
2) Non ci scordiamo che $beta$ deve essere anche uguale a $2/(v^Hv)$. Chi ci dice che le due uguaglianze ${(betav^Hx=1),(beta=2/(v^Hv)):}$ non vanno in conflitto una volta posto $v:=x-alphae_1$?

[dissonance]

"dissonance":
1) Chi ci dice che $v^Hx=(x-alphae_1)^Hx!=0$?

Ce lo dice il fatto che $x!=alphae_1$. Difatti $(x-alphae_1)^Hx=x^Hx-\bar{alpha}x_1=||x||_2^2-||x||_2*theta=||x||_2*(||x||_2-theta|x_1|)$. La norma $||x||_2$ non è nulla perché $x!=0$. Se $x_1!=0$, $theta=(x_1)/(|x_1|)$ e il secondo fattore diventa $||x||_2-x_1$, lo stesso se $x_1=0$ ovviamente. Questo è diverso da zero perché $||x||_2>|x_1|$, grazie all'ipotesi $x!=alphae_1$ (ovvero $x$ ha delle componenti non nulle nella direzione ortogonale ad $e_1$).

[dissonance]

Sono riuscito a capire!
Infatti resta da dimostrare che $beta=1/(v^Hx)=2/(v^Hv)$, cosa che emerge dopo aver fatto un po' di conti che qui non scrivo. I conti sono facilitati se poniamo $alpha=-||x||_2theta$, cosa che tanto va fatta per questioni di stabilità numerica.

[Megan00b]

Oh ce l'hai fatta. Se posso consolarti quando ho studiato quel conto ho fatto i tuoi stessi monologhi amletici....anche se non mi quotavo da solo

[dissonance]