Rappresentazione grafica problemi di programmazione lineare
Ragazzi, mi sto avvicinando allo studio della ricerca operativa ma non riesco a capire come rappresentare graficamente un problema di programmazione lineare, ad esempio da dove viene fuori quel grafico? Non riesco proprio a capire come sono state disegnate quelle rette 
C'è qualcuno di buona volontà che mi chiarisce le idee?
C'è qualcuno di buona volontà che mi chiarisce le idee?
Risposte
A distanza di un po' di tempo ci riprovo, c'è qualcuno che mi da una mano?
Scusa se non ti ho risposto a suo tempo, mi deve essere sfuggito il topic.
Allora i vincoli sono un sistema quindi ne consegue che la regione ammissibile è quella rappresentata colorata in quanto in quell'area sono rispettati tutti i vincoli. La rappresentazione dei vincoli spero non ti lasci dubbi (è una semplice rappresentazione di una retta sul piano cartesiano). Il verso delle frecce rosse, che determina la regione ammissibile, rappresenta semplicemente "verso quale direzione" il vincolo è soddisfatto. Le molteplici linee blu, l'unica cosa non spiegata bene nel disegno, rappresentano la funzione obiettivo (f.o.) in corrispondenza di diversi valori.
Ti spiego come risolvere il problema in maniera semplice. Lascia stare tutte quelle linee blu che non spiegano molto. Fissa, arbitrariamente, il valore della f.o. a zero: $z=0$. Quindi in tal caso rappresenti una retta passante per $(0,0)$ e, tra gli altri, $(1/3, -1)$. A questo punto, una volta rappresentata la regione ammissibile, "trascini" la f.o. (muovendola parallelamente a quella disegnata) fino al primo punto che incontri della regione ammissibile. Quello è il minimo (se cercavi il max prendevi il più lontano, l'ultimo che incontravi [nota]Evidentemente in questo caso il max non esiste perché il problema di max sarebbe illimitato.[/nota]).
Questa è la risoluzione grafica, quella fatta anche nel disegno (le molteplici linee blu rappresentano il "trascinamento" della f.o.). Altrimenti la risoluzione "matematica" prevederebbe l'applicazione del simplesso.
Spero di averti chiarito i dubbi e di non aver commesso errori. Se qualcosa non ti torna, chiedi!
Allora i vincoli sono un sistema quindi ne consegue che la regione ammissibile è quella rappresentata colorata in quanto in quell'area sono rispettati tutti i vincoli. La rappresentazione dei vincoli spero non ti lasci dubbi (è una semplice rappresentazione di una retta sul piano cartesiano). Il verso delle frecce rosse, che determina la regione ammissibile, rappresenta semplicemente "verso quale direzione" il vincolo è soddisfatto. Le molteplici linee blu, l'unica cosa non spiegata bene nel disegno, rappresentano la funzione obiettivo (f.o.) in corrispondenza di diversi valori.
Ti spiego come risolvere il problema in maniera semplice. Lascia stare tutte quelle linee blu che non spiegano molto. Fissa, arbitrariamente, il valore della f.o. a zero: $z=0$. Quindi in tal caso rappresenti una retta passante per $(0,0)$ e, tra gli altri, $(1/3, -1)$. A questo punto, una volta rappresentata la regione ammissibile, "trascini" la f.o. (muovendola parallelamente a quella disegnata) fino al primo punto che incontri della regione ammissibile. Quello è il minimo (se cercavi il max prendevi il più lontano, l'ultimo che incontravi [nota]Evidentemente in questo caso il max non esiste perché il problema di max sarebbe illimitato.[/nota]).
Questa è la risoluzione grafica, quella fatta anche nel disegno (le molteplici linee blu rappresentano il "trascinamento" della f.o.). Altrimenti la risoluzione "matematica" prevederebbe l'applicazione del simplesso.
Spero di averti chiarito i dubbi e di non aver commesso errori. Se qualcosa non ti torna, chiedi!
Ti ringrazio intanto dell'esauriente risposta. Quindi se non ho capito male, per rappresentare graficamente i vincoli basta trovare dei valori per le due x in modo da venir fuori 0.
Alcune cose ancora non capisco bene però:
1) Gradiente (3, 1) cosa rappresenta?
2) Perchè il punto di ottimo è (1, 0) ?
3) Valore ottimo ?z* = 3 cosa rappresenta e perchè è uguale a 3 ?
4) Infine cosa rappresentano gli A, B, C marcati nel piano?
Grazie ancora...
Alcune cose ancora non capisco bene però:
1) Gradiente (3, 1) cosa rappresenta?
2) Perchè il punto di ottimo è (1, 0) ?
3) Valore ottimo ?z* = 3 cosa rappresenta e perchè è uguale a 3 ?
4) Infine cosa rappresentano gli A, B, C marcati nel piano?
Grazie ancora...
Dalla tua risposta temo di non essere stato chiaro.
I vincoli li disegni così come sono. Rappresenti le rette che li descrivono e poi vedi "da che lato della retta" il vincolo viene soddisfatto (è il senso delle freccie rosse). Il "verso del vincolo" lo capisci dal tipo di disuguaglianza (una volta disegnata la retta che rappresenta il vincolo prendi un qualsiasi punto e verifica se soddisfa la disequazione del vincolo in questione, se lo fa in quel verso il vincolo è soddisfatto, altrimenti è soddisfatto nell'altro lato).
La f.o. la disegni, ad esempio, fissando $z=0$ (o quanto vuoi tu) e poi la trascini (trascinarla vuol dire ridisegnare la retta per diversi valori di $z$, ora capisci le tante linee blu?).
Una volta che l'hai disegnata capisci in che verso la minimizzi (è evidente, in questo caso che $z$ decresce se $x_1$ e $x_2$ tendono a meno infinito. Ora, disegnando tante f.o. per tanti valori di $z$, vedi che, poiché la f.o. minima è quella "più vicina a $z=-oo$", hai che il punto ammissibile, appartenente alla regione ammissibile, per il quale $z$ è minore è proprio $(1,0)$ e il valore corrispondente di $z$ è proprio $3$.
Il gradiente è semplicemente il gradiente (la derivata di $z$ in $x_1$ e in $x_2$).
I punti A,B,C sono i vertici della regione ammissibile. A è anche il punto di ottimo per il motivo spiegato prima.
PS: ti posso chiedere che studi e che basi hai di matematica?
I vincoli li disegni così come sono. Rappresenti le rette che li descrivono e poi vedi "da che lato della retta" il vincolo viene soddisfatto (è il senso delle freccie rosse). Il "verso del vincolo" lo capisci dal tipo di disuguaglianza (una volta disegnata la retta che rappresenta il vincolo prendi un qualsiasi punto e verifica se soddisfa la disequazione del vincolo in questione, se lo fa in quel verso il vincolo è soddisfatto, altrimenti è soddisfatto nell'altro lato).
La f.o. la disegni, ad esempio, fissando $z=0$ (o quanto vuoi tu) e poi la trascini (trascinarla vuol dire ridisegnare la retta per diversi valori di $z$, ora capisci le tante linee blu?).
Una volta che l'hai disegnata capisci in che verso la minimizzi (è evidente, in questo caso che $z$ decresce se $x_1$ e $x_2$ tendono a meno infinito. Ora, disegnando tante f.o. per tanti valori di $z$, vedi che, poiché la f.o. minima è quella "più vicina a $z=-oo$", hai che il punto ammissibile, appartenente alla regione ammissibile, per il quale $z$ è minore è proprio $(1,0)$ e il valore corrispondente di $z$ è proprio $3$.
Il gradiente è semplicemente il gradiente (la derivata di $z$ in $x_1$ e in $x_2$).
I punti A,B,C sono i vertici della regione ammissibile. A è anche il punto di ottimo per il motivo spiegato prima.
PS: ti posso chiedere che studi e che basi hai di matematica?
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