Quesito su matrice

[Darèios89]

Data la matrice: A= [tex]\begin{pmatrix}
3 &0 &1 \\
1 &-3 &-1 \\
0& 1&\alpha
\end{pmatrix}[/tex]

Dire per quali valori di alfa essa e’: diagonalmente dominante; non degenere e discutere la convergenza del metodo di Jacobi ad essa applicato.

Allora, se non erro la matrice è non degenere se il determinante è diverso da 0. Se non ho fatto errori mi risulta det(A)= [tex]-4-9\alpha[/tex]. Dunque la matrice dovrebbe essere dominante e non degenere per [tex]\alpha \neq-\frac{4}{9}[/tex].

Per la convergenza di Jacobi ho provato a seguire anche un esempio su youtube:

http://www.youtube.com/watch?v=HbqGnFU62-Y

Solo che nel mio caso, come diventa il sistema?

[tex]\left\{\begin{matrix}
3x_1+x_2=0\\
-3x_2+x_3=0\\

x_1-x_2+\alpha=0\end{matrix}\right.[/tex]

[Mrhaha]

Non so di questa convergenza, ma se non ho sbagliato a fare i conti $|A|= 4 - 9 \alpha$.
Ma non vedo dove imponi pure che la matrice sia a diagonale dominante!

[Nightwing1]

Ho provato a rifare due volte i calcoli: anche a me il determinante viene $ |A|= 4 - 9 \alpha $
Mi dispiace, non ho affrontato ad algebra lineare questo argomento (convergenza di Jacobi), mi spiace non poterti aiutare oltre

[walter891]

c'è un teorema che garantisce la convergenza del metodo di Jacobi se la matrice è a dominanza diagonale stretta, quindi considerando i punti precedenti dell'esercizio devi trovare i valori di $alpha$ che rendono tale la matrice $A$. Ad occhio dovrebbe venire $|alpha|>1$ con $alpha!=4/9$

[Darèios89]

Scusate nel primo post ho commesso un errore, volevo indicare [tex]\alpha \neq\frac{4}{9}[/tex].
Grazie a chi mi ha confermato il determinante. Per la matrice diagonale dominante.....non si dice che la matrice è diagonale dominante se la sommatoria degli elementi di ogni riga è minore del corrispondente valore sulla diagonale principale?

[Mrhaha]

"walter89":c'è un teorema che garantisce la convergenza del metodo di Jacobi se la matrice è a dominanza diagonale stretta, quindi considerando i punti precedenti dell'esercizio devi trovare i valori di $alpha$ che rendono tale la matrice $A$. Ad occhio dovrebbe venire $|alpha|>1$ con $alpha!=4/9$

Concordo con il valore di $ \alpha $.

[walter891]

"Darèios89":Per la matrice diagonale dominante.....non si dice che la matrice è diagonale dominante se la sommatoria degli elementi di ogni riga è minore del corrispondente valore sulla diagonale principale?

Per essere precisi tutti gli elementi sono da considerare in valore assoluto, comunque la dominanza diagonale vale anche con il segno di uguaglianza, mentre se viene chiesta la dominanza diagonale stretta la somma dei moduli degli elementi extradiagonali deve essere strettamente minore del modulo dell'elemento diagonale

[Darèios89]

Benissimo.

c'è un teorema che garantisce la convergenza del metodo di Jacobi se la matrice è a dominanza diagonale stretta, quindi considerando i punti precedenti dell'esercizio devi trovare i valori di α che rendono tale la matrice A

Ma io devo specificare che deve essere [tex]\alpha \neq \frac{4}{9}[/tex] solo per evitare che il determinante sia 0? Se dico semplicemente che [tex]|\alpha|>0[/tex] per la dominanza è necessario specificarlo lo stesso che deve essere diverso da [tex]\frac{4}{9}[/tex]?
Dunque...resta qualcosa da fare nell' esercizio?

[walter891]

l'esercizio ora è finito, per la dominanza diagonale è sufficiente $|alpha|>1$, l'altra condizione deriva dal punto precedente

[Darèios89]

Grazie a tutti!