Programmazione Lineare Intera: formulazione di un problema
Dovrei formalizzare, in termini di PLI, questo problema:
Io ho ragionato così: ho definito queste variabili
$x_{A1} = "numero di libri L'infinito di Adoli acquistati"$
$x_{B1} = "numero di libri Il bianco di Bernardis acquistati"$
$x_{C1} = "numero di libri Il presente di Caspucci acquistati"$
e così via, tanto ci siam capiti. Ho poi definito queste ulteriori variabili
$s_A = "sconto su libri Adoli" \qquad s_B = "sconto su libri Bernardis" \qquad s_C = "sconto su libri Caspucci"$
Quindi la funzione obiettivo, e i primi vincoli, sono questi
$\max 3 x_{A1} + 2 x_{A2} + 4 x_{A3} + 4 x_{B1} + 3 x_{B2} + 2 x_{C1} + 3 x_{C2} + 5 x_{C3}$
$7 x_{A1} + 8 x_{A2} + 7 x_{A3} + 6 x_{B1} + 8 x_{B2} + 8 x_{C1} + 9 x_{C2} + 7 x_{C3} - s_A - s_B - s_C \le 2500$
Per definire lo sconto $s_A$, ho definito quattro variabili binarie (cioè che possono assumere solo i valori $0$ o $1$), in questo modo
$\delta_{A0} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 0 e 10"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A1} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 11 e 20"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A2} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 21 e 30"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A3} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero maggiore di 31"),(0, "altrimenti"):}$
e ho inserito i seguenti vincoli
$\delta_{A0} + \delta_{A1} + \delta_{A2} + \delta_{A3} = 1$ (solo una di queste variabili deve assumere valore uno, le altre devono valere zero)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 10 \delta_{A0} + 1000 (1 - \delta_{A0})$ (se si comprano meno di $10$ libri, la somma degli $x_A$ deve essere minore o uguale a $10$, altrimenti deve essere minore di $1000$, che è solo un upper-bound che non inficia i risultati, visto che a $1000$ non si potrà comunque arrivare)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 11 \delta_{A1}$ (se si comprano più di $11$ libri, la somma degli $x_A$ deve essere maggiore o uguale a $11$, altrimenti questa condizione dice che la somma degli $x_A$ deve essere non negativa)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 20 \delta_{A1} + 1000 (1 - \delta_{A1})$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 21 \delta_{A3}$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 30 \delta_{A3} + 1000 (1 - \delta_{A3})$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 31 \delta_{A3}$
$s_A = 4 \delta_{A1} + 8 \delta_{A2} + 13 \delta_{A3}$ (si definisce lo sconto sui libri di Adoli)
Ovviamente per $s_B$ e $s_C$ ho ragionato analogamente.
Potreste dirmi se quello che ho fatto va bene? Grazie.
PS: non l'ho scritto esplicitamente per brevità, ma tutte le variabili sono vincolate ad essere intere e non negative.
Io ho ragionato così: ho definito queste variabili
$x_{A1} = "numero di libri L'infinito di Adoli acquistati"$
$x_{B1} = "numero di libri Il bianco di Bernardis acquistati"$
$x_{C1} = "numero di libri Il presente di Caspucci acquistati"$
e così via, tanto ci siam capiti. Ho poi definito queste ulteriori variabili
$s_A = "sconto su libri Adoli" \qquad s_B = "sconto su libri Bernardis" \qquad s_C = "sconto su libri Caspucci"$
Quindi la funzione obiettivo, e i primi vincoli, sono questi
$\max 3 x_{A1} + 2 x_{A2} + 4 x_{A3} + 4 x_{B1} + 3 x_{B2} + 2 x_{C1} + 3 x_{C2} + 5 x_{C3}$
$7 x_{A1} + 8 x_{A2} + 7 x_{A3} + 6 x_{B1} + 8 x_{B2} + 8 x_{C1} + 9 x_{C2} + 7 x_{C3} - s_A - s_B - s_C \le 2500$
Per definire lo sconto $s_A$, ho definito quattro variabili binarie (cioè che possono assumere solo i valori $0$ o $1$), in questo modo
$\delta_{A0} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 0 e 10"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A1} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 11 e 20"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A2} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero compreso fra 21 e 30"),(0, "altrimenti"):}$
$\delta_{A3} = \{(1, "se i libri di Aldoli acquistati sono in numero maggiore di 31"),(0, "altrimenti"):}$
e ho inserito i seguenti vincoli
$\delta_{A0} + \delta_{A1} + \delta_{A2} + \delta_{A3} = 1$ (solo una di queste variabili deve assumere valore uno, le altre devono valere zero)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 10 \delta_{A0} + 1000 (1 - \delta_{A0})$ (se si comprano meno di $10$ libri, la somma degli $x_A$ deve essere minore o uguale a $10$, altrimenti deve essere minore di $1000$, che è solo un upper-bound che non inficia i risultati, visto che a $1000$ non si potrà comunque arrivare)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 11 \delta_{A1}$ (se si comprano più di $11$ libri, la somma degli $x_A$ deve essere maggiore o uguale a $11$, altrimenti questa condizione dice che la somma degli $x_A$ deve essere non negativa)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 20 \delta_{A1} + 1000 (1 - \delta_{A1})$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 21 \delta_{A3}$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 30 \delta_{A3} + 1000 (1 - \delta_{A3})$ (come sopra)
$x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \ge 31 \delta_{A3}$
$s_A = 4 \delta_{A1} + 8 \delta_{A2} + 13 \delta_{A3}$ (si definisce lo sconto sui libri di Adoli)
Ovviamente per $s_B$ e $s_C$ ho ragionato analogamente.
Potreste dirmi se quello che ho fatto va bene? Grazie.
PS: non l'ho scritto esplicitamente per brevità, ma tutte le variabili sono vincolate ad essere intere e non negative.
Risposte
Ciao, mi pare tutto ok.
Ti ringrazio luluemicia. 
Matematicamente in che corso si possono studiare argomenti di questo tipo?
questi sono contenuti tipici e standard di un corso di ricerca operativa
Il corso che sto seguendo non si chiama proprio Ricerca Operativa (quella l'ho già data un paio di anni fa) ma si chiama Metodi di Ottimizzazione (per dirla breve è il continuo...). Comunque sì, sempre Ricerca Operativa rimane, al di là dei nomi...
Sì, certo, il corso può avere un nome diverso da "ricerca operativa", ma presumo che a manifesto sia indicato come MAT/09, che è Ricerca Operativa.
Poi, possono succedere le cose più strane, a volte per motivi locali, o accidentali (io faccio un corso di TdG che è "categorizzato" come MAT/05, ovvero analisi matematica, cosa che non ha molto senso...).
Approfitto per aggiungere qualche info.
In effetti, la "declaratoria" di MAT/09 (ovvero, icerca Operativa) è:
La ricerca operativa studia i processi decisionali nei sistemi organizzati, nonché i modelli e i metodi per prevedere il comportamento di tali sistemi, in particolare quelli relativi alla crescita della loro complessità, per valutare le conseguenze di determinate decisioni e per individuare le decisioni che ottimizzano le loro prestazioni. Le metodologie di base comprendono la teoria e gli algoritmi di ottimizzazione, la teoria dei grafi e delle reti di flusso, la teoria dei giochi e delle decisioni. I problemi oggetto di studio comprendono i sistemi di produzione, trasporto, distribuzione e supporto logistico di beni e servizi, la pianificazione, organizzazione e gestione di attività, progetti e sistemi, in tutte le diverse fasi che caratterizzano il processo decisionale: definizione del problema, sua formalizzazione matematica, formulazione di vincoli, obiettivi e alternative di azione, sviluppo di algoritmi di soluzione, valutazione, implementazione e certificazione delle procedure e delle soluzioni trovate. Le competenze didattiche di questo settore riguardano anche tutti gli aspetti istituzionali della matematica di base.
Per quanto riguarda la PLI, essa è ovviamente ottimizzazione, per di più è "vicina" alla PL ed inoltre è in dimensione finita. Quindi tutti gli indizi convergono verso le competenze tipiche della Ric Oper
Poi, possono succedere le cose più strane, a volte per motivi locali, o accidentali (io faccio un corso di TdG che è "categorizzato" come MAT/05, ovvero analisi matematica, cosa che non ha molto senso...).
Approfitto per aggiungere qualche info.
In effetti, la "declaratoria" di MAT/09 (ovvero, icerca Operativa) è:
La ricerca operativa studia i processi decisionali nei sistemi organizzati, nonché i modelli e i metodi per prevedere il comportamento di tali sistemi, in particolare quelli relativi alla crescita della loro complessità, per valutare le conseguenze di determinate decisioni e per individuare le decisioni che ottimizzano le loro prestazioni. Le metodologie di base comprendono la teoria e gli algoritmi di ottimizzazione, la teoria dei grafi e delle reti di flusso, la teoria dei giochi e delle decisioni. I problemi oggetto di studio comprendono i sistemi di produzione, trasporto, distribuzione e supporto logistico di beni e servizi, la pianificazione, organizzazione e gestione di attività, progetti e sistemi, in tutte le diverse fasi che caratterizzano il processo decisionale: definizione del problema, sua formalizzazione matematica, formulazione di vincoli, obiettivi e alternative di azione, sviluppo di algoritmi di soluzione, valutazione, implementazione e certificazione delle procedure e delle soluzioni trovate. Le competenze didattiche di questo settore riguardano anche tutti gli aspetti istituzionali della matematica di base.
Per quanto riguarda la PLI, essa è ovviamente ottimizzazione, per di più è "vicina" alla PL ed inoltre è in dimensione finita. Quindi tutti gli indizi convergono verso le competenze tipiche della Ric Oper
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