Ordine e Consistenza

[sophii1]

Come faccio a determinare analiticamente l'ordine del seguente metodo:
$ y_{n+3}-18/11*y_{n+2}+9/11*y_{n+1}-2/11*y_{n}=k*6/11*f(t_{n+3},y_{n+3}) $
e dire se è consistente?
Grazie in anticipo!

[feddy]

Se denoti con $a_i$ i coefficienti di $y_{n+i}$ e con $b_i$ i coefficienti di $f(t_{n+i})$, e con $r$ il numero di passi del metodo (in questo caso sono 3), allora il metodo ha ordine almeno $p$ se vale

$[\sum_{j=0}^{r}j^{i} a_j = = i \sum_{j=0}^{r} j^{i-1} b_j, \quad i=0,\ldots, p]$

con la convenzione che $0^0=1$
In pratica, finché questo sistema lineare è soddisfatto l'ordine è almeno $p$. Se per $i=p+1$ si trova che non vale l'uguaglianza, allora l'ordine è $p$.

Per la consistenza invece:
definisci $\rho(\omega) = \sum_{j=0}^{r} a_j \omega^{j}$ e $\sigma(\omega)=\sum_{j=0}^{r} b_j \omega^{j}$.

Si ha consistenza se vale

$[\rho(1)=0$ e $\rho'(1) = \sigma(1)]$

Se queste due condizioni sono verificate allora il metodo in esame ha ordine $p$ ed è consistente.

[feddy]

mi sono dimenticato di farlo notare: $\rho$ e $\sigma$ sono polinomi nell'incognita $\omega$