Norme vettoriali e norme matriciali
Ho un paio di domande riguardanti le norme matriciali e vettoriali.
- Prima di tutto, devo dimostrare la relazione fra queste due norme:
$ ||x||_∞<=||x||_2<=sqrtn||x||_∞ $ (x vettore)
come posso procedere? io so che $ ||x||_∞ = max_(1<=i<=n)|x_i| $ mentre $ ||x||_2=sqrt(sum_(i = 1)^n |x_i|^2 $
- Poi, mi viene definita la norma di Frobenius di una matrice A come:
$ ||A||_F=sqrt(sum_(i,j = 1)^n |a_(i,j)|^2 $
inoltre so che esiste un teorema che mi dice (non mi è stato però dimostrato): $ ||A||_F=sqrt(tr(A^HA) $
Adesso, se una matrice è indotta da una norma vettoriale, la norma matriciale della matrice identità dovrà valere 1 quindi, per dimostrare che la norma di Frobenius non è una matrice indotta da una norma vettoriale, devo dimostrare questo. Per il teorema la norma di Frobenius della matrice identità è la radice della traccia, e quindi $sqrtn$. Da questo ne segue che, la norma di Frobenius non è indotta da una norma vettoriale, giusto?.
Ultima cosa:
- $ ||A||=n*max_(i,j)|a_(i,j)| $ devo dimostrare che questa è una norma matriciale.
Per le prime 3 proprietà non ho avuto difficoltà a dimostrarle (sono abbastanza banali), mentre per la quarta mi sono un pò impicciata. Allora, io devo dimostrare che:
$ ||AB||<=||A||*||B|| $
ho iniziato scrivendo che: $ ||AB||=n*max_(i,j)|(AB)_(i.j)|<=n*max_(i,j)|sum_(k = 1)^na_(i,k)*b_(k,j)|<= n*max_(i,j)sum_(k = 1)^n|a_(i,k)|*|b_(k,j)| $
fin qui sbaglio qualcosa? comunque, non riesco a continuare..
- Prima di tutto, devo dimostrare la relazione fra queste due norme:
$ ||x||_∞<=||x||_2<=sqrtn||x||_∞ $ (x vettore)
come posso procedere? io so che $ ||x||_∞ = max_(1<=i<=n)|x_i| $ mentre $ ||x||_2=sqrt(sum_(i = 1)^n |x_i|^2 $
- Poi, mi viene definita la norma di Frobenius di una matrice A come:
$ ||A||_F=sqrt(sum_(i,j = 1)^n |a_(i,j)|^2 $
inoltre so che esiste un teorema che mi dice (non mi è stato però dimostrato): $ ||A||_F=sqrt(tr(A^HA) $
Adesso, se una matrice è indotta da una norma vettoriale, la norma matriciale della matrice identità dovrà valere 1 quindi, per dimostrare che la norma di Frobenius non è una matrice indotta da una norma vettoriale, devo dimostrare questo. Per il teorema la norma di Frobenius della matrice identità è la radice della traccia, e quindi $sqrtn$. Da questo ne segue che, la norma di Frobenius non è indotta da una norma vettoriale, giusto?.
Ultima cosa:
- $ ||A||=n*max_(i,j)|a_(i,j)| $ devo dimostrare che questa è una norma matriciale.
Per le prime 3 proprietà non ho avuto difficoltà a dimostrarle (sono abbastanza banali), mentre per la quarta mi sono un pò impicciata. Allora, io devo dimostrare che:
$ ||AB||<=||A||*||B|| $
ho iniziato scrivendo che: $ ||AB||=n*max_(i,j)|(AB)_(i.j)|<=n*max_(i,j)|sum_(k = 1)^na_(i,k)*b_(k,j)|<= n*max_(i,j)sum_(k = 1)^n|a_(i,k)|*|b_(k,j)| $
fin qui sbaglio qualcosa? comunque, non riesco a continuare..
Risposte
"DarylDixon":
$ ||x||_∞<=||x||_2<=sqrtn||x||_∞ $
la prima disuguaglianza diventa facile da dimostrare considerando le norme al quadrato
$max|x_i|^2<=sum_(i=1)^n |x_i|^2$
mentre per l'altra il mio prof la fa così
$sqrt(sum_(i=1)^n |x_i|^2)<=sqrt(max|x_i|^2 sum_(i=1)^n 1)=sqrtn||x||_(infty)$
Ahh capito, grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo