Norma indotta: ma che senso ha il sup?
Oi ragazzi buon giorno.
Sappiamo che se vale la seguente uguaglianza...
$||A||$ concide con l'estremo superiore di $frac{||A*x||}{||x||} $ si parla di norma indotta ($x != 0$)
La cosa che io non capisco è quel sup li...cioè i vettori appartengono a $RR^n$ che è un insieme illimitato cioè qualunque elemento prendo in norma ne posso trovare uno con norma maggiore per cui che senso ha quel sup? Ho capito che c'entra qualkosa con la trasformazione lineare associata ad $A$ ma non ho capito come. Spero rispondiate, a presto!
Sappiamo che se vale la seguente uguaglianza...
$||A||$ concide con l'estremo superiore di $frac{||A*x||}{||x||} $ si parla di norma indotta ($x != 0$)
La cosa che io non capisco è quel sup li...cioè i vettori appartengono a $RR^n$ che è un insieme illimitato cioè qualunque elemento prendo in norma ne posso trovare uno con norma maggiore per cui che senso ha quel sup? Ho capito che c'entra qualkosa con la trasformazione lineare associata ad $A$ ma non ho capito come. Spero rispondiate, a presto!
Risposte
Ho dato un occhiata, qualkosa l'ho capita (continuerò a sbatterci la testa finchè non capirò), un'altra cosa...da dove nasce quest'uguaglianza? (caso matrici no funzioni)
$Sup_{||x|| = 1} ||A||*||x|| = Sup_{x!=0} frac{||A*x||}{x}$ ?
$Sup_{||x|| = 1} ||A||*||x|| = Sup_{x!=0} frac{||A*x||}{x}$ ?
da un corollario del teorema di Hahn-Banach* per cui $EE$ un operatore lineare continuo tale che $||A||=1$ e $||Ax||=x$
* Sia $N : V → R$ sublineare, sia $U$ un sottospazio vettoriale di $V$ e sia $\phi : U \to K$ un funzionale lineare tale che $|\phi(x)| ≤ N(x)$ $\forall x \in U.$ Allora esiste un'applicazione lineare $\delta : V \to K$ che estende $\phi$ e che è dominata da $N$ su tutto $V$ (nel senso che $|\delta(x)| ≤ N(x)$ $\forall x \in V$).
* Sia $N : V → R$ sublineare, sia $U$ un sottospazio vettoriale di $V$ e sia $\phi : U \to K$ un funzionale lineare tale che $|\phi(x)| ≤ N(x)$ $\forall x \in U.$ Allora esiste un'applicazione lineare $\delta : V \to K$ che estende $\phi$ e che è dominata da $N$ su tutto $V$ (nel senso che $|\delta(x)| ≤ N(x)$ $\forall x \in V$).
"Lauke":
Ho dato un occhiata, qualkosa l'ho capita (continuerò a sbatterci la testa finchè non capirò), un'altra cosa...da dove nasce quest'uguaglianza? (caso matrici no funzioni)
$Sup_{||x|| = 1} ||A*x|| = Sup_{x!=0} frac{||A*x||}{||x||}$ ?
Innanzitutto, l'uguaglianza corretta è quella che ho rimaneggiato nella citazione... Inoltre, mica ci vuole tanto lavoro per dimostrare che vale quell'uguaglianza?
Infatti, posto $S_0= "sup "_{x!=0} frac{||A*x||}{||x||}$ ed $S_1="sup "_{||x|| = 1} ||A*x||$, hai $S_1<=S_0$ (perchè l'insieme $\{ x: ||x||=1\} \subseteq \{ x: x !=0\}$), cosicché basta provare che $S_0<=S_1$.
Fissiamo $x \in \{x: x!=0\}$ e consideriamo il vettore $xi :=(x)/(||x||)$ che si ottiene normalizzando $x$ (infatti è $||xi||=(||x||)/(||x||)=1$): si ha:
$A*xi =A*((x)/(||x||))=" per linearità "= (A*x)/(||x||) => ||A*xi||=||(A*x)/(||x||)||=" per omogeneità "=(||A*x||)/(||x||)$
cosicché per ogni $x!=0$ riusciamo a trovare $xi$ con $||xi||=1$ tale che $||A*xi||=(||A*x||)/(||x||)$. Da ciò segue banalmente che sussiste l'inclusione:
$\{ (||A*x||)/(||x||), " con " x!=0\} \subseteq \{ ||A*x||, " con " ||x||=1\}$
e dalle proprietà dell'estremo superiore discende che:
$S_0="sup "\{ (||A*x||)/(||x||), " con " x!=0\} <= \{ ||A*x||, " con " ||x||=1\} =S_1$
come si voleva.
L'ultima dimostrazione mi è piaciuta di piu xD vi ringrazio so much
L'ultima dimostrazione mi è piaciuta di piu xD vi ringrazio so much
In effetti questa è una questione elementare, che non ha alcun bisogno del teorema di H-B per essere dimostrata; come vedi nella dimostrazione entrano unicamente la linearità dell'operatore $A$ e l'omogeneità della norma.
Forse Luc@s è stato tratto d'inganno dal fatto che avevi sbagliato a scrivere l'enunciato... O molto probabilmente, non ho capito bene io il problema.
Forse Luc@s è stato tratto d'inganno dal fatto che avevi sbagliato a scrivere l'enunciato... O molto probabilmente, non ho capito bene io il problema.
l'enunciato? aspettate vi spiego io non studio matematica studio ingegneria informatica e il calcolo numerico fa parte del mio piano di studi, per cui di l'analisi funzionale (di cui fanno parte i teoremi che voi tirate in mezzo) io non so nulla, a me ovviamente interessa capire ciò che faccio possibilmente bene e stamattina tra gli appunti facendo ripasso ho trovato il discorso della norma indotta con quell'uguaglianza e non riuscivo a trovare cosa le legasse. Ma a parte questo...grazie ancora =D
"Gugo82":
Forse Luc@s è stato tratto d'inganno dal fatto che avevi sbagliato a scrivere l'enunciato... O molto probabilmente, non ho capito bene io il problema.
direi la prima... in effetti ho ucciso una zanzara con una nucleare
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo