Nodi di chebyshev
Salve, qualcuno sa darmi la dimostrazione per la trasformazione delle radici di chebyshev dall'intervallo [-1,1] in un intervallo [a b]. La trasformazione è la seguente : $ (a+b)/2 + (b-a)/2 $ . Da dove esce questa trasformazione? Grazie in anticipo
Risposte
Ragazzi nessuno mi sà aiutare?
Ancora nessuna risposta??
La domanda non è chiara, ecco il problema. Pure quella che hai scritto non è una trasformazione, non si capisce quale sia la variabile indipendente. Se vuoi mappare \([-1, 1]\) in \([a, b]\) ti va bene in questi casi una trasformazione affine, ovvero polinomiale di primo grado: poni \(T(x)=\alpha x + \beta\) e determina \(\alpha, \beta\) in modo tale che \(T(-1)=a, T(1)=b\).
esatto è quello che voglio fare, e mi hanno dato quella formula che ho scritto sopra per farlo, ho visto che quella formula è praticamente l'equazione della retta passante per i due punti (-1,a) e (1,b), ma non capisco il perchè!! mi potresti spiegare meglio come risolvere quuesta trasformazione affine? grazie
Devi trovare una trasformazione affine (cioè polinomiale di primo grado, spesso si dice trasformazione lineare ma è un po' improprio) \(T(x)=\alpha x + \beta\) con la proprietà che \(T\colon [-1, 1] \to [a, b]\). Siccome i parametri da determinare sono solo due, ti basta imporre che \(T(-1)=a, T(1)=b\) per determinarli completamente. Fatti i conti ti verrà lo stesso risultato che ti hanno dato in classe. E' facilissimo.
Inoltre relativamente ai nodi di chebychev se scrivo che il k-simo nodo è uguale a $x_k=cos(k* pi/(n-1)) $ genero i nodi nell'intervallo [-1,1] a partire dal valore 1 , se li volessi ordinare si sfrutta la proprieta del coseno e quindi si ottiene che
$x_k=-cos(k*pi/(n-1)) $ con k =0 a n-1, dove n è il numero di nodi . ma di quale proprietà si tratta ? grazie ancora
$x_k=-cos(k*pi/(n-1)) $ con k =0 a n-1, dove n è il numero di nodi . ma di quale proprietà si tratta ? grazie ancora
Boh, come l'hai scritta non significa niente: io leggo \(x_k=-x_k\) che sicuramente non è quello che vuoi affermare. Scrivi bene.
[size=90](Comunque sarà sicuramente la proprietà di simmetria \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\).)[/size]
[size=90](Comunque sarà sicuramente la proprietà di simmetria \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\).)[/size]
Allora se scrivo $ x_k=cos(k*pi/(n-1)) $i nodi li genero in [-1,1 ] solo che i valori che la funzione coseno assume vanno da 1 a -1, quindi sono in ordine decrescente!! Se volessi tali valori in ordine crescente allora dovrei generare gli $ x_k=-cos(k*pi/(n-1)) $, in questi casi vengono generati in [-1,1] con la differenza però che sono in ordine crescente. adesso io vorrei sapere quale proprietà è stata sfruttata. In tutti e due i casi k va da 0 a n-1...
Non penso sia la proprieta $ cos(theta)=cos(-theta) $ anche perchè gli argomenti dei coseni sono uguali , gli si cambia il segno fuori, poi non sò!!
Non penso sia la proprieta $ cos(theta)=cos(-theta) $ anche perchè gli argomenti dei coseni sono uguali , gli si cambia il segno fuori, poi non sò!!
Vabbè dai, è chiaro: si riferisce a come è fatto il grafico del coseno, che in \([0, \pi]\) è una funzione decrescente.
E quindi ? ho visualizzato il grafico in $ [0,pi] $ con matlab , però non riesco a pervenire alla conclusione di quella formula!! cioè in che modo sfrutta la decrescenza della funzione in $[0,pi]$ ??
Se è decrescente allora i nodi sono ordinati dal più grande al più piccolo. Pacifico questo?
Siccome i nodi sono simmetrici, se mettiamo un segno meno riotteniamo la successione dei nodi. Pacifico quest'altro?
Se mettiamo un segno meno ad una funzione decrescente otteniamo una funzione crescente. Pacifico quest'altro ancora?
Se la risposta alle tre domande di prima è "si", allora hai capito che con questo trucco ottieni i nodi ordinati dal più piccolo al più grande.
Siccome i nodi sono simmetrici, se mettiamo un segno meno riotteniamo la successione dei nodi. Pacifico quest'altro?
Se mettiamo un segno meno ad una funzione decrescente otteniamo una funzione crescente. Pacifico quest'altro ancora?
Se la risposta alle tre domande di prima è "si", allora hai capito che con questo trucco ottieni i nodi ordinati dal più piccolo al più grande.
si si chiaro,io ho anche notato che l'arcocoseno è dispari, in [-1.1], e che il cos è simmetrico rispetto all' asse delle ascisse in [0,pi]? è esatto?
"pasqualinux":
il cos è simmetrico rispetto all' asse delle ascisse in [0,pi]? è esatto?
MMM... forse mi sbaglio, ma secondo me non è simmetrico rispetto all'asse x, semmai nell'intervallo che indichi, vedo una simmetria centrale con centro $C(0;pi/2)$
esattamente, quello che volevo dire io,solo che dicendo asse x e come se avessi posto $c(0;0)$ giusto?
PS $C$ non dovrebbe essere $ (pi/2,0) $ ?? anche perchè il $cos$ ha valori in $[-1,1]$
PS $C$ non dovrebbe essere $ (pi/2,0) $ ?? anche perchè il $cos$ ha valori in $[-1,1]$
Sì, grazie Pasqualinux, ho invertito le coordinate.
Per la prima osservazione: credo che la simmetria centrale (simmetria rispetto ad un punto e la simmetria rispetto ad una retta siano due cose diverse.
Per la prima osservazione: credo che la simmetria centrale (simmetria rispetto ad un punto e la simmetria rispetto ad una retta siano due cose diverse.
Si è sicuramente come dici tu, io non eccedo in geometria , in effetti ne so pochissimo , perché sono cose che non ho studiato alle superiori, pessimi insegnati di matematica che non facevano nulla !! Solo con l'inizio dell'uni ho conosciuto il meraviglioso mondo della matematica!
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