Metodo punto fisso
Salve, non riesco a risolvere quest'esercizio:
Dimostrare che l’iterazione $ x_(k+1)=x_k+exp ^(1-x_k) -1 $ converge $ AA x_0 in mathbb(R) $ . Determinare l’ordine di convergenza del metodo.
Sono riuscita a dimostrare che il metodo converge per ogni $ x_0> 1-ln 2 $ poiché in questo caso la derivata prima è minore di 1. Il problema è che non riesco a dimostrare se $ x_0<= 1-ln 2 $. L'idea che ho è quela di dimostrare che se $ x_0<= 1-ln 2 $ dopo un numero finito di iterazioni ritorno al caso precedente ma non so proprio come mostrarlo… Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?
Dimostrare che l’iterazione $ x_(k+1)=x_k+exp ^(1-x_k) -1 $ converge $ AA x_0 in mathbb(R) $ . Determinare l’ordine di convergenza del metodo.
Sono riuscita a dimostrare che il metodo converge per ogni $ x_0> 1-ln 2 $ poiché in questo caso la derivata prima è minore di 1. Il problema è che non riesco a dimostrare se $ x_0<= 1-ln 2 $. L'idea che ho è quela di dimostrare che se $ x_0<= 1-ln 2 $ dopo un numero finito di iterazioni ritorno al caso precedente ma non so proprio come mostrarlo… Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?
Risposte
$g$ ammette $\alpha=1$ come punto fisso. Inoltre, detta $g(x)=x+e^{-1-x} -1$ si ha che $|g'(\alpha)|=0 (< 1)$ e dunque c'è convergenza locale ad $\alpha$. In particolare da qui segue che l'ordine di convergenza è lineare. (La prima derivata che si annulla una volta valutata in $\alpha$ è la "prima")
Disegnati nel piano la bisettrice e poi $g(x)$. E poi fai un cobwebbing nel caso in cui $x_0 \leq 1-ln2$. Vedi subito che viene prodotta una successione monotona decrescente alla radice $x=1$.
Guardando qui dovresti riuscire a trovare molti altri esempi e casistiche.
La strategia del cobwebbing diciamo che è una cosa abbastanza grezza, nel senso che sei riuscito a disegnare esplicitamente il grafico di $g(x)$. Ovviamente quello che richiede l'esercizio è una richiesta globale. Il noto risultato globale dice che se la $g$ è lipschitziana in $[a,b]$ con costante di Lipschitz $L<1$, allora la successione definita da $x_{k+1}=g(x_k)$ converge all'unico punto fisso $\alpha$ (che in questo caso vale $1$) , per qualsiasi scelta del dato iniziale in $[a,b]$. In questo caso l'intervallo è tutto l'asse reale.
Ma non è un duro compito mostrare che $g$ è effettivamente lipschitz in un qualasiasi compatto $[a,b]$:
Per il teorema del valor medio vale $ |e^(1-x)-e^(1-y)| = e^(1-c)|y-x|$, con $c \in (a,b)$ da cui
con $L <1$ in quanto l'esponenziale è sempre positivo. Pertanto tale funzione è una contrazione.
Disegnati nel piano la bisettrice e poi $g(x)$. E poi fai un cobwebbing nel caso in cui $x_0 \leq 1-ln2$. Vedi subito che viene prodotta una successione monotona decrescente alla radice $x=1$.
Guardando qui dovresti riuscire a trovare molti altri esempi e casistiche.
La strategia del cobwebbing diciamo che è una cosa abbastanza grezza, nel senso che sei riuscito a disegnare esplicitamente il grafico di $g(x)$. Ovviamente quello che richiede l'esercizio è una richiesta globale. Il noto risultato globale dice che se la $g$ è lipschitziana in $[a,b]$ con costante di Lipschitz $L<1$, allora la successione definita da $x_{k+1}=g(x_k)$ converge all'unico punto fisso $\alpha$ (che in questo caso vale $1$) , per qualsiasi scelta del dato iniziale in $[a,b]$. In questo caso l'intervallo è tutto l'asse reale.
Ma non è un duro compito mostrare che $g$ è effettivamente lipschitz in un qualasiasi compatto $[a,b]$:
$|g(x)-g(y)|=|(x-y)+e^(1-x)-e^(1-y)| \leq |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)|$
Per il teorema del valor medio vale $ |e^(1-x)-e^(1-y)| = e^(1-c)|y-x|$, con $c \in (a,b)$ da cui
$ |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)| \ leq (1-e^(1-c)) |x-y|=L |x-y|$
con $L <1$ in quanto l'esponenziale è sempre positivo. Pertanto tale funzione è una contrazione.
Grazie mille! Sei stato utilissimo
Mi fa piacere! 
Guardando meglio.. non ho ben capito l'ultimo passggio: a me la costante viene $ L=1+e^(1-x) $ che è sempre maggiore di 1..
Dovresti avere un meno, per poter raccogliere $|x-y|$
Per il th del valore medio so che
$ e^(1-x)-e^(1-y)=-e^(1-c)*(x-y) $
Passando ai moduli
$ |e^(1-x)-e^(1-y)|=|-e^(1-c)*(x-y)|=|e^(1-c)|*|x-y|=e^(1-c)*|x-y| $
Quindi quando raccolgo la costante viene $ 1+e^(1-c) $
Giusto?
$ e^(1-x)-e^(1-y)=-e^(1-c)*(x-y) $
Passando ai moduli
$ |e^(1-x)-e^(1-y)|=|-e^(1-c)*(x-y)|=|e^(1-c)|*|x-y|=e^(1-c)*|x-y| $
Quindi quando raccolgo la costante viene $ 1+e^(1-c) $
Giusto?
Già, peccato, nella fretta avevo scambiato i segni di $x$ e $y$ e quindi mi veniva un segno meno. Sarebbe stato elegante mostrarlo così. Allora la prima strategia va comunque bene, che sostanzialmente è quello che dici tu con
"lalalala":
dimostrare che se $x_0≤1−ln2$ dopo un numero finito di iterazioni ritorno al caso precedente
Si ma non riesco a capire come dimostrarlo… cioè farlo come un disegno non mi pare tanto formale
Il metodo grafico, nel caso in cui la funzione di iterazione lo permette, sicuramente può andare. Se vuoi essere più formale, cerca di mostrare che la successione $x_{k+1}=g(x_k)$ prodotta, prendendo $x_0 \leq 1- ln2$ converge a $1$.
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