Metodo jacobi per i sistemi lineari

[nico19888]

salve a tutti, sono nuovo del forum, e avrei un piccolo problema con il metodo di jacobi per la risoluzione dei sistemi lineari.
La prof, scrive quanto segue:
scompone A= D + E + F, con D= diag(A), E= matrice triang inf e F= matrice triang superiore.
quindi ottiene:
$ x^(k+1)= ( I – D^-1 * A)x^k + D^-1 * b = I*x^k - D^-1*A*x^k + D^-1 * b =
I*x^k - D^-1(b- A*x^k)=
x^k - D^-1 *r $
dove r=residuo e la matrice di iterazione vale B= (I- D^-1*A).
Mi spiegate il primo passaggio ?? proprio non capisco da dove esce la matrice I
grazie a tutti

[Lory314]

Benvenuto. Per prima cosa leggi bene il regolamento e usa i tag per le formule. Poi vediamo di chiarire il dubbio.

[nico19888]

"Lory314":Benvenuto. Per prima cosa leggi bene il regolamento e usa i tag per le formule. Poi vediamo di chiarire il dubbio.

salve a tutti, sono nuovo del forum, e avrei un piccolo problema con il metodo di jacobi per la risoluzione dei sistemi lineari.
La prof, scrive quanto segue:
scompone A= D + E + F, con D= diag(A), E= matrice triang inf e F= matrice triang superiore.
quindi ottiene:
$ xk+1=(I–D−1⋅A)xk+D−1⋅b=I⋅xk−D−1⋅A⋅xk+D−1⋅b=I⋅xk−D−1(b−A⋅xk)=xk−D−1⋅r $
dove r=residuo e la matrice di iterazione vale $ B= (I- D^-1*A) $.
Mi spiegate il primo passaggio ?? proprio non capisco da dove esce la matrice I
grazie a tutti

[Lory314]

Come saprai, la formula che permette di ricavare le iterate del metodi di Jacobi può essere scritta nel seguente modo:
\[
a_{i,i}x_i^{k+1} = b_i - \sum_{j=1,j!=i}^ka_{i,j}x_j^k
\]
cioè
\[
Dx^{k+1} = b - (E+F)x^k
\]
Invertendo la D
\[
x^{k+1} = D^{-1}b - D^{-1}(E+F)x^k
\]
Ossia
\[
x^{k+1} = D^{-1}b + Bx^k
\]
con la matrice di iterazione $B = -D^{-1}(E+F)$.
Quello che c'è da dimostrare ora è che la matrice di itezione sopra scritta è equivalente a quella scritta da te. Poichè $A=D+E+F$, $E+F=A-D$. Quindi
\[
B = -D^{-1}(A-D) = -D^{-1}A + I = I - D^{-1}A
\]

Spero di aver chiarito il dubbio.

P.S.: cerca di migliorare la scrittura delle formule. Così sono davvero poco comprensibili.