Metodo di Simpson per integrali

[que1]

Ciao a tutti , dopo aver implementato i metodi del punto medio e dei trapezi per calcolare un integrale
su MatLab , li ho testati con una funzione costante , tra un intervallo di numeri interi e il risultato è un numero intero .
Infatti questi due metodi integrano perfettamente funzioni di grado <=1 .

Questa correttezza non sono riuscita ad ottenerla implementando il metodo di Simpson . Ad esempio , con la funzione y=1 , tra [0,4], sia il metodo del punto medio che quello dei trapezi mi danno un risultato di 4 . Quello di Simpson ottengo 4.0007 .

Secondo voi a cosa è dovuta questa inesattezza ?
Vi allego anche la mia implementazione del metodo di Simpson
(a,b sono gli estremi di integrazione , M il numero di intervallini in cui dividere l'intervallo e f la funzione)

function [area]=simpson(a,b,M,f);

H=(b-a)/M;
x=[a:H:b];
y=eval(f);
y(1:end-1)=2*y(1:end-1);
area=H/6*sum(y);
x=[a+H/2:H:b-H/2];
y2=eval(f);
area=area+2*H/3*sum(y2);

[Raptorista1]

È dovuto sicuramente ad un errore nel codice. Prova ad integrare con un solo intervallo, dovrebbe uscire comunque il numero giusto.

[que1]

Riguardando la formula credo che sia normale che più diminuisco la lunghezza degli intervallini più l'errore diminuisce .
Tant'è che se uso simpson su f=1 tra [0,4] , con lunghezza intervallo di 4 ottengo 4,6 . Diminuendo la lunghezza degli intervallini il risultato tende al numero corretto 4 .

Ora non mi è chiara la faccenda dell'esattezza ....

[Raptorista1]

Questo non è possibile.
Se \(f \equiv 1\) e \([a,b] \equiv [0,4]\), l'approssimazione con un solo intervallo ha tre nodi \(x_0 = 0\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\) a cui corrispondono i valori \(y_0 = y_1 = y_2 = 1\) ed \(h = 2\).
L'integrale approssimato è allora
\[
I = \frac{h}{3} (y_0 + 4y_1 + y_2) = 4,
\]
che è il valore esatto.
Dev'esserci un errore nel codice, prova a riprodurre questo calcolo che io ho fatto a mano.