Metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari.
Ho dei dubbi sulla formulazione del metodo di Newton per sistemi non lineari.
Il problema della ricerca delle soluzioni, se esistono, di un sistema di equazioni non lineari omogeneo lo possiamo riguardare come la determinazione degli zeri di $F(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ dove $F \ : \ \mathbf{x} \ in RR^{n} \ to F(\mathbf{x}) \in RR^{n}.$ In tal caso considero il metodo di Newton, il quale è un metodo iterativo.
Supponiamo che esista $\mathbf{a} \in RR^{n}$ tale che $F(\mathbf{a})=\mathbf{0}$, e sia $I_\mathbf{a}={\mathbf{x} \in RR^{n} \: \ ||\mathbf{x}-\mathbf{a}||<\rho}$, supponiamo inoltre che $F \in C^2(I_\mathbf{a})$, sia $\mathbf{x}^(0) \in I_\mathbf{a}$, poiché la funzione l'abbiamo supposta di classe $C^2$ su $I_\mathbf{a}$, allora possiamo svilupparla in serie di Taylor di ordine due centrata in $\mathbf{x}^(0)$, cioè vale
Supponendo che sia possibile trascurare il termine
allora la ricerca della radice di $F$ si riduce a determinare la radice dell'equazione
la quale è lineare in $\mathbf{x}$, dove $F'(\mathbf{x}^(0) )$ è la matrice Jacobiana di $F$ valutata in $\mathbf{x}^(0)$.
Supposto che $F'(\mathbf{x}^(0) )$ invertibile, allora abbiamo
$F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=0 \to F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=-F(\mathbf{x}^(0) )\to \mathbf{x}=\mathbf{x}^(0) -F'(\mathbf{x}^(0) )^-1F(\mathbf{x}^(0)) $
quindi, abbiamo una radice dell'equazione
che rappresenta un'approssimazione di $\mathbf{a} \in RR^{n}$.
Ammesso di poter continuare, cioè che sia invertibile la Jacobiana, si determina una successione $\mathbf{x}^i \in RR^{n}$ definiti da $\mathbf{x}^(i+1)=\mathbf{x}^i+\mathbf{delta}$ dove il delta è ottenuto risolvendo il sistema
Può andare bene come formulazione? Vi faccio queste domande perché non ho fatto Analisi due, quindi, non so manipolare la formula di Taylor con più variabili.
Il problema della ricerca delle soluzioni, se esistono, di un sistema di equazioni non lineari omogeneo lo possiamo riguardare come la determinazione degli zeri di $F(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ dove $F \ : \ \mathbf{x} \ in RR^{n} \ to F(\mathbf{x}) \in RR^{n}.$ In tal caso considero il metodo di Newton, il quale è un metodo iterativo.
Supponiamo che esista $\mathbf{a} \in RR^{n}$ tale che $F(\mathbf{a})=\mathbf{0}$, e sia $I_\mathbf{a}={\mathbf{x} \in RR^{n} \: \ ||\mathbf{x}-\mathbf{a}||<\rho}$, supponiamo inoltre che $F \in C^2(I_\mathbf{a})$, sia $\mathbf{x}^(0) \in I_\mathbf{a}$, poiché la funzione l'abbiamo supposta di classe $C^2$ su $I_\mathbf{a}$, allora possiamo svilupparla in serie di Taylor di ordine due centrata in $\mathbf{x}^(0)$, cioè vale
$F(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )+1/2F^('')(\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2$
dove $\bar{\mathbf{x}} in I_\mathbf{a}$.Supponendo che sia possibile trascurare il termine
$1/2F^('')(\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2$
allora la ricerca della radice di $F$ si riduce a determinare la radice dell'equazione
$F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )$
la quale è lineare in $\mathbf{x}$, dove $F'(\mathbf{x}^(0) )$ è la matrice Jacobiana di $F$ valutata in $\mathbf{x}^(0)$.
Supposto che $F'(\mathbf{x}^(0) )$ invertibile, allora abbiamo
$F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=0 \to F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=-F(\mathbf{x}^(0) )\to \mathbf{x}=\mathbf{x}^(0) -F'(\mathbf{x}^(0) )^-1F(\mathbf{x}^(0)) $
quindi, abbiamo una radice dell'equazione
$F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )$
che rappresenta un'approssimazione di $\mathbf{a} \in RR^{n}$.
Ammesso di poter continuare, cioè che sia invertibile la Jacobiana, si determina una successione $\mathbf{x}^i \in RR^{n}$ definiti da $\mathbf{x}^(i+1)=\mathbf{x}^i+\mathbf{delta}$ dove il delta è ottenuto risolvendo il sistema
$F'(\mathbf{x}^(i))\mathbf{delta}=-F(\mathbf{x}^(i) )$
Può andare bene come formulazione? Vi faccio queste domande perché non ho fatto Analisi due, quindi, non so manipolare la formula di Taylor con più variabili.
Risposte
Nessuno che mi risponde?
Puoi vederla in modo brutale cosi: l'idea e' la stessa del caso scalare, ma con lo jacobiano invece della derivata, e un sistema lineare invece della divisione. Nella prima equazione per $F(x)$, se metti il simbolo di uguaglianza devi mettere anche i relativi $o(\cdot)$.
Ciao, grazie per avermi risposto.
Quindi qui
dovrei tener conto degli infinitesimi di ordine superiore rispetto
Giusto ?
Quindi qui
$ F(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )+1/2F^('')(\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2 $
dovrei tener conto degli infinitesimi di ordine superiore rispetto
$(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0))$
cioè sarebbe $ F(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )+1/2F^('')(\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2+o(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )$
e poi continuare come ho già fatto, cioè supponendo che sia possibile trascurare i termini $ 1/2F^('')(\bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2 + o(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0))$ Giusto ?
Qui viene discusso in modo veloce, ma viene discusso: https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_de ... mensionale
Il motivo per cui serve essere precisi qui non è meramente formale, ma legato alle proprietà' di convergenza del metodo in se'.
Il motivo per cui serve essere precisi qui non è meramente formale, ma legato alle proprietà' di convergenza del metodo in se'.
Altra cosa. Nell'o-piccolo devi usare la norma... altrimenti non è ben definito cosa significa $o(x-x_0)$, mentre $$o(||x-x_0||)$$ lo è.
Ciao Feddy, innanzi tutto ringrazio per la disponibilità, invece qui
"feddy":mi vuoi dire che è necessario che lo Jacobiano risulti invertibile nel punto $ x^{(k)}$ determinato dal metodo iterativo ?
Il motivo per cui serve essere precisi qui non è meramente formale, ma legato alle proprietà' di convergenza del metodo in se'.
"feddy":esatto grazie!...scritto in questo modo vengono compresi i termini di ordine superiore a $ (\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )^2 $ ?
Altra cosa. Nell'o-piccolo devi usare la norma... altrimenti non è ben definito cosa significa $ o(x-x_0) $, mentre \[ o(||x-x_0||) \] lo è.
Prima domanda: Certo, altrimenti non hai speranza di risolvere il sistema lineare che ha per matrice proprio lo Jacobiano **valutato** nel punto $x^{(k)}$. Quel sistema l'hai scritto esplicitamente nel tuo post:
Seconda: Con $o(||x-x_0||)$ si intendono i termini che vanno a zero piu' velocemente di $||x-x_0||$ per $x \rightarrow x_0$. Dunque $||x-x_0||^2$, etc..
"compa90":
$ F(\mathbf{x}^(0) )+F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=0 \to F'(\mathbf{x}^(0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}^(0) )=-F(\mathbf{x}^(0) )\to \mathbf{x}=\mathbf{x}^(0) -F'(\mathbf{x}^(0) )^-1F(\mathbf{x}^(0)) $
Seconda: Con $o(||x-x_0||)$ si intendono i termini che vanno a zero piu' velocemente di $||x-x_0||$ per $x \rightarrow x_0$. Dunque $||x-x_0||^2$, etc..
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