Metodo di Gauss Naive, Gauss Seidel

[Darèios89]

Ho qualche dubbio. Ho letto che il metodo Gauss Seidel è simile al metodo di Jacobi, ma non ho capito in cosa differisce, e poi dire metodo di Gauss, è lo stesso che dire Gauss Naive? Cioè trovare i moltiplicatori, ridurre la matrice e poi risolvere il sistema con il metodo di sostituzione all' indietro?

[vict85]

Sinceramente non chiamerei Naive il metodo di eliminazione di Gauss (spesso chiamato ‘decomposizione LU’). Sono due sistemi di tipo molto diverso e non propriamente comparabili. La decomposizione LU è un metodo ESATTO per la risoluzione di un sistema lineare, in altre parole, gli unici errori che vengono creati sono dovuti al computer e alla precisione finita. Il metodo di Gauss-Seidel è un metodo ITERATIVO e quindi, se la matrice considerata non è ottimale, potrebbe non avere successo anche se fosse calcolato con un calcolatore capace di usare una precisione infinita. Le differenze con il metodo di Jacobi sono minime. In generale la differenza sta nel fatto che il metodo di Gauss-Seidel, per calcolare l'ennesimo valore aggiornato usa gli n-1 valori già aggiornati mentre Jacobi usa soltanto i valori del passo precendente.

Il metodo di eliminazione di Gauss è il metodo più usato per risolvere sistemi lineari densi di dimensione superiore al 5x5, mentre quelli iterativi sono più usati per i sistemi sparsi (il metodo di eliminazione di Gauss non mantiene la sparsità della matrice). Per i sistemi piccoli Cramer può essere più efficiente.

[Darèios89]

Ma quindi un esercizio, se mi si chiede di trovare la fattorizzazione LU di una matrice, e risolvere il sistema Ax=B a partire dalla fattorizzazione, è identico ad un altro in cui mi si chiede di risolvere il sistema mediante il metodo di eliminazione di Gauss?

[vict85]

"Darèios89":Ma quindi un esercizio, se mi si chiede di trovare la fattorizzazione LU di una matrice, e risolvere il sistema Ax=B a partire dalla fattorizzazione, è identico ad un altro in cui mi si chiede di risolvere il sistema mediante il metodo di eliminazione di Gauss?

Non proprio. In genere il metodo di eliminazione di Gauss lavora anche su \(B\) durante il procedimento mentre il metodo \(LU\) lavora solo sulla matrice \(A\) (è una decomposizione) e poi calcola i due sistemi triangolari. Il vantaggio dell'\(LU\) è che puoi calcolare lo stesso sistema per \(B\) diversi riducendo il numero di operazioni totali. Sono lo stesso nella misura in cui è come se risolvessi il primo sistema triangolare durante la riduzione per righe.

[Darèios89]

Allora, io ho trovato in alcuni esercizi le richieste:

Risolvere il seguente sistema con il metodo di Gauss e trovare i moltiplicatori

e

Risolvere il sistema con il metodo di Gauss-Naif

Vorrei sapere cosa cambia.

[vict85]

Mai sentito usare il metodo Naive o Naif relativemente al metodo di Gauss. A meno che non si riferisca a diverse implementazione del metodo. In quel caso probabilmente si riferisce al metodo di riduzione classico con il solito ordine delle operazioni (ci sono 6 diversi ordini per le operazioni)