Metodo di Eulero esplicito, implicito, modificato, Heun, RK4
Ciao a tutti ho un esercizio da risolvere con il metodo di Eulero esplicito, implicito, modificato, Heun, RK4 e per ognuno di questi metodi devo trovare i primi tre punti. Il problema è il seguente:
$y'=2x$
$x_0=1, y_0=1$
$h=1$
Io ho provato a risolverlo però non avendo le soluzioni non so se ho fatto giusto. Le mie soluzioni:
Eulero esplicito:
$x_1=2, y_1=3$
$x_2=3, y_2=7$
$x_3=4, y_3=13$
Eulero implicito:
$x_1=2, y_1=3$
$x_2=3, y_2=7$
$x_3=4, y_3=13$
Eulero modificato:
$x_1=2, y_1=4$
$x_2=3, y_2=9$
$x_3=4, y_3=16$
Heun:
$x_1=2, y_1=4$
$x_2=3, y_2=9$
$x_3=4, y_3=16$
RK4 non ne ho idea
$y'=2x$
$x_0=1, y_0=1$
$h=1$
Io ho provato a risolverlo però non avendo le soluzioni non so se ho fatto giusto. Le mie soluzioni:
Eulero esplicito:
$x_1=2, y_1=3$
$x_2=3, y_2=7$
$x_3=4, y_3=13$
Eulero implicito:
$x_1=2, y_1=3$
$x_2=3, y_2=7$
$x_3=4, y_3=13$
Eulero modificato:
$x_1=2, y_1=4$
$x_2=3, y_2=9$
$x_3=4, y_3=16$
Heun:
$x_1=2, y_1=4$
$x_2=3, y_2=9$
$x_3=4, y_3=16$
RK4 non ne ho idea
Risposte
Più che i risultati, dovresti dirci i procedimenti.
Anche per RK4, comunque, non c'è che da applicare la formula.
Anche per RK4, comunque, non c'è che da applicare la formula.
Hai banalmente che \(\displaystyle y = x^2 \). Perciò i valori corretti sono \(\displaystyle y_1 = y(2) = 2^2 = 4 \), \(\displaystyle y_2 = y(3) = 3^2 = 9 \), \(\displaystyle y_3 = y(4) = 4^2 = 16 \).
Si ha che \(\displaystyle f(x_i,w_i) = f(x_0 + ih, w_i) = 2(x_0 + ih) = 2ih + 2\).
Per Eulero esplicito si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + h f(x_{n-1},w_{n-1}) = w_0 + 2nh + 2h^2\sum_{i=0}^{n-1} i = y_0 + 2nh + 2h^2\frac{n(n-1)}{2}\)
Dubbi fin qui? Si ricava perciò che:
\(\displaystyle w_1 = 1 + 2 + 0 = 3 \)
\(\displaystyle w_2 = 1 + 4 + 2 = 7 \)
\(\displaystyle w_3 = 1 + 6 + 6 = 13 \)
con errori di \(\displaystyle -1 \), \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -3 \) rispetto al risultato corretto.
Ora, il punto è che tu non sei un computer. Quindi puoi sfruttare percorsi che un pc non può fare (a meno di fare i calcoli in modo simbolico).
Per Eulero implicito si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + h f(x_{n},w_{n}) = w_0 + 2nh + 2h^2\sum_{i=1}^{n} i = y_0 + 2nh + 2h^2\frac{n(n+1)}{2}\)
Si ricava perciò che:
\(\displaystyle w_1 = 1 + 2 + 2 = 5 \)
\(\displaystyle w_2 = 1 + 4 + 6 = 10 \)
\(\displaystyle w_3 = 1 + 6 + 12 = 19 \)
con errori di \(\displaystyle +1 \), \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle +3 \) rispetto al risultato corretto.
Con Heun diversi autori si riferiscono a diversi sistemi. Tu a quale ti riferisci? La mia professoressa si riferisce al seguente:
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + \frac{h}{2} \Bigl[ f(x_{n-1},w_{n-1}) + f(x_{n}, w_{n-1} + f\bigl(x_{n-1},w_{n-1}) \bigl)\Bigr] \)
siccome nel tuo caso specifico \(\displaystyle f(x,w) \) è indipendente da \(\displaystyle w \) si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + \frac{h}{2} \bigl[ f(x_{n-1},w_{n-1}) + f(x_{n}, w_{n})\bigr] = w_0 + 2nh + n^2h + 2h^2\frac{n(n-1}{2}\).
Per RK4 le formule sono più complesse ma comunque semplificabili. Sia questo che Heun dovrebbero produrre la soluzione esatta.
Si ha che \(\displaystyle f(x_i,w_i) = f(x_0 + ih, w_i) = 2(x_0 + ih) = 2ih + 2\).
Per Eulero esplicito si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + h f(x_{n-1},w_{n-1}) = w_0 + 2nh + 2h^2\sum_{i=0}^{n-1} i = y_0 + 2nh + 2h^2\frac{n(n-1)}{2}\)
Dubbi fin qui? Si ricava perciò che:
\(\displaystyle w_1 = 1 + 2 + 0 = 3 \)
\(\displaystyle w_2 = 1 + 4 + 2 = 7 \)
\(\displaystyle w_3 = 1 + 6 + 6 = 13 \)
con errori di \(\displaystyle -1 \), \(\displaystyle -2 \) e \(\displaystyle -3 \) rispetto al risultato corretto.
Ora, il punto è che tu non sei un computer. Quindi puoi sfruttare percorsi che un pc non può fare (a meno di fare i calcoli in modo simbolico).
Per Eulero implicito si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + h f(x_{n},w_{n}) = w_0 + 2nh + 2h^2\sum_{i=1}^{n} i = y_0 + 2nh + 2h^2\frac{n(n+1)}{2}\)
Si ricava perciò che:
\(\displaystyle w_1 = 1 + 2 + 2 = 5 \)
\(\displaystyle w_2 = 1 + 4 + 6 = 10 \)
\(\displaystyle w_3 = 1 + 6 + 12 = 19 \)
con errori di \(\displaystyle +1 \), \(\displaystyle +1 \) e \(\displaystyle +3 \) rispetto al risultato corretto.
Con Heun diversi autori si riferiscono a diversi sistemi. Tu a quale ti riferisci? La mia professoressa si riferisce al seguente:
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + \frac{h}{2} \Bigl[ f(x_{n-1},w_{n-1}) + f(x_{n}, w_{n-1} + f\bigl(x_{n-1},w_{n-1}) \bigl)\Bigr] \)
siccome nel tuo caso specifico \(\displaystyle f(x,w) \) è indipendente da \(\displaystyle w \) si ha che
\(\displaystyle w_n = w_{n-1} + \frac{h}{2} \bigl[ f(x_{n-1},w_{n-1}) + f(x_{n}, w_{n})\bigr] = w_0 + 2nh + n^2h + 2h^2\frac{n(n-1}{2}\).
Per RK4 le formule sono più complesse ma comunque semplificabili. Sia questo che Heun dovrebbero produrre la soluzione esatta.
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