Matrice definita positiva
Ciao,
sto ripassando il metodo di Cholesky per la risoluzione dei sistemi lineari e viene chiesto per ipotesi che la matrice da fattorizzare sia simmetrica e definita positiva.
Riguardo la definizione di matrice simmetrica non ho problemi, quello che mi preme sapere è come fare a capire che una matrice è definita positiva.
Nel mio testo viene detto che deve essere soddisfatta questa condizione $x^T A x > 0$.
Ho letto anche che si può adoperare il Criterio di Sylvester per sapere se la matrice simmetrica A è definita positiva.
Questo è l'enunciato
Fa anche un esempio:
Consideriamo la matrice $A =((4,1,0),(1,1,0),(0,0,8))$
$det(A_1)=4$
$det(A_2)=3$
$det(A_3)=24$
segue che A è simmetrica definita positiva.
Io, pur facendo tutte le prove necessarie, non arrivo a capire chi siano $A_1$ e $A_3$ per ottenere quel determinante
Potete illuminarmi?
Voi in generale come fate a capire che la matrice è definita positiva?
Grazie
sto ripassando il metodo di Cholesky per la risoluzione dei sistemi lineari e viene chiesto per ipotesi che la matrice da fattorizzare sia simmetrica e definita positiva.
Riguardo la definizione di matrice simmetrica non ho problemi, quello che mi preme sapere è come fare a capire che una matrice è definita positiva.
Nel mio testo viene detto che deve essere soddisfatta questa condizione $x^T A x > 0$.
Ho letto anche che si può adoperare il Criterio di Sylvester per sapere se la matrice simmetrica A è definita positiva.
Questo è l'enunciato
La matrice simmetrica $A in R^(n,n)$ è definita positiva se e solo se $det(A_k)>0$ per $k=1,...,n$ dove gli $A_k$ sono i minori principali della matrice che si ottengono dall'intersezione delle prime k righe e colonne della matrice stessa
Fa anche un esempio:
Consideriamo la matrice $A =((4,1,0),(1,1,0),(0,0,8))$
$det(A_1)=4$
$det(A_2)=3$
$det(A_3)=24$
segue che A è simmetrica definita positiva.
Io, pur facendo tutte le prove necessarie, non arrivo a capire chi siano $A_1$ e $A_3$ per ottenere quel determinante
Potete illuminarmi?
Voi in generale come fate a capire che la matrice è definita positiva?
Grazie
Risposte
Ciao,
ma a te serve un metodo di calcolo, più semplice,... ?
ci son più enunciati e metodi, da quelli che hai già proposto (il secondo non lo conosco ma è implicato dalla definizione di non-singolarità della matrice definita positiva) ad un corollario della lemma di Schur.
ma a te serve un metodo di calcolo, più semplice,... ?
ci son più enunciati e metodi, da quelli che hai già proposto (il secondo non lo conosco ma è implicato dalla definizione di non-singolarità della matrice definita positiva) ad un corollario della lemma di Schur.
A me serve semplicemente un modo per capire quando la matrice che ho davanti è definita positiva.
Mi pare di capire che basta vedere se $x^TAx>0$...
Sbaglio?
Mi pare di capire che basta vedere se $x^TAx>0$...
Sbaglio?
"Samy21":
A me serve semplicemente un modo per capire quando la matrice che ho davanti è definita positiva.
Mi pare di capire che basta vedere se $x^TAx>0$...
Sbaglio?
primo fatto, se è definita positiva hai davanti una matrice non-singolare.
per vedere se è definita positiva quella hai mostrato è la definizione, puoi utilizzarla sempre problemi. Ma per semplicità operazionale forse esistono metodi più veloci (tipo vedere prima se le sottomatrici di qualche ordine sono definite positive anch'esse, perciò vai di costruzione).
tornando al tuo esempio con la matrice $A =((4,1,0),(1,1,0),(0,0,8))$
le sottomatrici che ti interessano sono $A_1=a_(1,1)=4$ e $A_2=((4,1),(1,1))$ mentre $A_3=A$
e i minori principali sono i determinanti di queste sottomatrici. Questo è un buon criterio che si può usare quando la matrice non è troppo grande.
le sottomatrici che ti interessano sono $A_1=a_(1,1)=4$ e $A_2=((4,1),(1,1))$ mentre $A_3=A$
e i minori principali sono i determinanti di queste sottomatrici. Questo è un buon criterio che si può usare quando la matrice non è troppo grande.
Puoi fare un controllo al volo con i Teoremi di Gershgorin, sono molto utili anche se danno condizioni solo necessarie.
"walter89":
tornando al tuo esempio con la matrice $A =((4,1,0),(1,1,0),(0,0,8))$
le sottomatrici che ti interessano sono $A_1=a_(1,1)=4$ e $A_2=((4,1),(1,1))$ mentre $A_3=A$
e i minori principali sono i determinanti di queste sottomatrici. Questo è un buon criterio che si può usare quando la matrice non è troppo grande.
Scusa ma non ho capito bene. Intendi dire che ottengo $A_1$ togliendo la riga e la colonna corrispondente all'elemento $a_(1,1)$ e così ottengo come sottomatrice $A_1=((1,0),(0,8))$ e quindi il determinante di questa matrice sarebbe 8 che moltiplicato per 4 mi da 24 come il risultato che il libro ottiene per $A_3$?
Grazie per la pazienza!
"Raptorista":
Puoi fare un controllo al volo con i Teoremi di Gershgorin, sono molto utili anche se danno condizioni solo necessarie.
Questi teoremi non li ho in programma ma me li studierò se mi servono per capire qualcosa in più... Grazie
Rispondo ad entrambi i messaggi.
Le (sotto)matrici \(A_1, A_2, \dots\) sono i cosiddetti "Minori di Nord-Ovest" [NW].
La matrice \(A_i\) è la matrice quadrata che si ottiene prendendo le prime \(i\) righe e le prime \(i\) colonne [e, di fatto, facendone una sorta di intersezione].
Detto in un altro modo, la matrice \(A_i\) è la matrice che ottieni eliminando tutte le righe dalla \(i + 1\)-esima in poi e tutte le colonne dalla \(i+1\)-esima in poi.
Sui teoremi di Gershgorin, sono teoremi di localizzazione degli autovalori: hanno enunciati davvero semplici e ci vogliono circa 30 secondi per capire come si usano. Sono un buon investimento secondo me
Le (sotto)matrici \(A_1, A_2, \dots\) sono i cosiddetti "Minori di Nord-Ovest" [NW].
La matrice \(A_i\) è la matrice quadrata che si ottiene prendendo le prime \(i\) righe e le prime \(i\) colonne [e, di fatto, facendone una sorta di intersezione].
Detto in un altro modo, la matrice \(A_i\) è la matrice che ottieni eliminando tutte le righe dalla \(i + 1\)-esima in poi e tutte le colonne dalla \(i+1\)-esima in poi.
Sui teoremi di Gershgorin, sono teoremi di localizzazione degli autovalori: hanno enunciati davvero semplici e ci vogliono circa 30 secondi per capire come si usano. Sono un buon investimento secondo me
"Raptorista":
Le (sotto)matrici \(A_1, A_2, \dots\) sono i cosiddetti "Minori di Nord-Ovest" [NW].
La matrice \(A_i\) è la matrice quadrata che si ottiene prendendo le prime \(i\) righe e le prime \(i\) colonne [e, di fatto, facendone una sorta di intersezione].
Detto in un altro modo, la matrice \(A_i\) è la matrice che ottieni eliminando tutte le righe dalla \(i + 1\)-esima in poi e tutte le colonne dalla \(i+1\)-esima in poi.
Ti ringrazio per la celere risposta
Allora, se ho capito bene, consideriamo $i=1$ quindi ottengo $A_1=(4,1,0)*((4),(1),(0))$ ma non capisco come ottengo il valore...
Scusa se sono dura di comprendonio
No XD
Ok, forse non era chiaro quando l'ho scritto la prima volta, ma la seconda volta era MOLTO chiaro!!
Allora, caso \(i = 1\): elimina tutte le righe e tutte le colonne dalle \(2\) alla \(n\); nel caso in esame, prendi il tuo bel ditino e piazzalo in modo da coprire le colonne 2, 3; poi prendi un altro ditino e copri le righe 2, 3. Che cosa ottieni?
Caso \(i = 2\): stessa cosa ma copri solo la riga e la colonna 3.
Chiaro??
Ok, forse non era chiaro quando l'ho scritto la prima volta, ma la seconda volta era MOLTO chiaro!!
Allora, caso \(i = 1\): elimina tutte le righe e tutte le colonne dalle \(2\) alla \(n\); nel caso in esame, prendi il tuo bel ditino e piazzalo in modo da coprire le colonne 2, 3; poi prendi un altro ditino e copri le righe 2, 3. Che cosa ottieni?
Caso \(i = 2\): stessa cosa ma copri solo la riga e la colonna 3.
Chiaro??
Intanto grazie per il bel ditino
Scherzo, allora, nel primo caso ottengo 4, nel secondo 1 e nel 3 ottengo 8.. E' giusto?
Se non l'ho capito nemmeno ora sono davvero una capra come direbbe Sgarbi!!
Scherzo, allora, nel primo caso ottengo 4, nel secondo 1 e nel 3 ottengo 8.. E' giusto?
Se non l'ho capito nemmeno ora sono davvero una capra come direbbe Sgarbi!!
«CAPRA!!»
Ma scusa, prima di postare una nuova risposta perché non cerchi di far uscire i risultati che ti ha scritto walter qualche messaggio fa??
Io non sono in grado di spiegare questa cosa in maniera più semplice di così, motivo per cui abbandono la conversazione e ti rimando ad un qualunque libro di testo/dispensa/persona-più-brava-di-me-a-spiegare.
Ma scusa, prima di postare una nuova risposta perché non cerchi di far uscire i risultati che ti ha scritto walter qualche messaggio fa??
Io non sono in grado di spiegare questa cosa in maniera più semplice di così, motivo per cui abbandono la conversazione e ti rimando ad un qualunque libro di testo/dispensa/persona-più-brava-di-me-a-spiegare.
No ma non è colpa tua, meglio di come lo hai detto non potevi dirlo. Il punto è che ho il cervello in panne in questo momento.
Ci rifletto su come bisogna fare e mi scuso fortemente con te..
Ci rifletto su come bisogna fare e mi scuso fortemente con te..
Allora, $A_1=4$,
$A_2= ((4,1),(1,1))$ e il det è $3$
$A_3=A$ e il suo det è 24...
Finalmente l'ho capito!!!!!!!!
Grazie Raptorista
$A_2= ((4,1),(1,1))$ e il det è $3$
$A_3=A$ e il suo det è 24...
Finalmente l'ho capito!!!!!!!!
Grazie Raptorista
ok ora è tutto giusto, ci sarà un motivo se di solito prima di affrontare il calcolo numerico si studiano le basi di algebra lineare
"walter89":
ok ora è tutto giusto, ci sarà un motivo se di solito prima di affrontare il calcolo numerico si studiano le basi di algebra lineare
Io invece grande mente geniale che sono la studio prima di algebra lineare/geometria.... E si vedono i risultati!!!
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