Interpolazione polinomiale
devo ottenere il polinomio interpolatore di grado al più 2 interpolante i punti P1=(0,0), P2=(1,1), P3=(3,-2).
quindi avrei un sistema del genere ${ ( a_0+a_1x_0+a_2x_0^2=0 ),( a_0+a_1x_1+a_2x_1^2=1 ),( a_0+a_1x_2+a_2x_2^2=-2 ):}$
dove sostituisco le "x" della tabulazione?
quindi avrei un sistema del genere ${ ( a_0+a_1x_0+a_2x_0^2=0 ),( a_0+a_1x_1+a_2x_1^2=1 ),( a_0+a_1x_2+a_2x_2^2=-2 ):}$
dove sostituisco le "x" della tabulazione?
Risposte
Non ti basta usare le forme di lagrange o Newton?
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_form
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_form (meno utile)
In generale penso che Newton sia il più fattibile.
Riguardo alla tua domanda tu trovi i coefficienti del polinomio \(a_0,\dotsc,a_n\). La \(x\) è stata sostituita. Non è come i determinanti formali che ogni tanto si usano in geometria analitica.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_form
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_form (meno utile)
In generale penso che Newton sia il più fattibile.
Riguardo alla tua domanda tu trovi i coefficienti del polinomio \(a_0,\dotsc,a_n\). La \(x\) è stata sostituita. Non è come i determinanti formali che ogni tanto si usano in geometria analitica.
quindi nella matrice di vandermonde che scrivo $| ( 1,x_0,x_0^2 ),( 1,x_1,x_1^2 ),( 1,x_2,x_2^2 ) |$ ?
"BHK":
quindi nella matrice di vandermonde che scrivo $| ( 1,x_0,x_0^2 ),( 1,x_1,x_1^2 ),( 1,x_2,x_2^2 ) |$ ?
si esatto e le soluzioni sono i coefficienti. Comunque è spesso una matrice decisamente mal condizionata...
Ok, ho provato a risolverlo con il polinomio di lagrange.
$P(x)=L_0(x)*y(x_0)+L_1(x)*y(x_1)+L_2(x)*y(x_2)$
$=L_0(x)*0+L_1(x)*1+L_2(x)*(-2)$
$L_0(x)=((x-x_1)*(x-x_2))/((x_0-x_1)*(x_0-x_2))=((x-1)*(x-3))/((0-1)*(0-3))=(x^2+-3x-x+3)/3$
$L_1(x)=((x-x_0)*(x-x_2))/((x_1-x_0)*(x_1-x_2))=((x-0)*(x-3))/((1-0)*(1-3))=(x^2-3x)/(-3)$
$L_2(x)=((x-x_0)*(x-x_1))/((x_2-x_0)*(x_2-x_1))=((x-0)*(x-1))/((3-0)*(3-1))=(x^2-x)/6$
$P(x)=0+(x^2-3x)/(-3)+(-2x^2+2x)/6$
$P(x)=L_0(x)*y(x_0)+L_1(x)*y(x_1)+L_2(x)*y(x_2)$
$=L_0(x)*0+L_1(x)*1+L_2(x)*(-2)$
$L_0(x)=((x-x_1)*(x-x_2))/((x_0-x_1)*(x_0-x_2))=((x-1)*(x-3))/((0-1)*(0-3))=(x^2+-3x-x+3)/3$
$L_1(x)=((x-x_0)*(x-x_2))/((x_1-x_0)*(x_1-x_2))=((x-0)*(x-3))/((1-0)*(1-3))=(x^2-3x)/(-3)$
$L_2(x)=((x-x_0)*(x-x_1))/((x_2-x_0)*(x_2-x_1))=((x-0)*(x-1))/((3-0)*(3-1))=(x^2-x)/6$
$P(x)=0+(x^2-3x)/(-3)+(-2x^2+2x)/6$
Scrivere il sistema lineare nella forma $V^tVa=V^ty$ (senza risolverlo) utile a determinare i coefficienti della retta ai minimi quadrati approssimante i punti P1=(0,0), P2=(1,1), P3=(3,4).
Prima domanda: $V^t$ è la matrice inversa?
il vettore y dovrebbe essere $(0,1,4)$ e non ho capito come costruire la matrice, se devo approssimare la funzione con una retta, uso un polinomio di grado 1, nella forma $a+bx_i$
quindi una matrice di Vandermonde $V=|(1,x_0),(1,x_1),(1,x_2)|$
come dovrei procedere?
Prima domanda: $V^t$ è la matrice inversa?
il vettore y dovrebbe essere $(0,1,4)$ e non ho capito come costruire la matrice, se devo approssimare la funzione con una retta, uso un polinomio di grado 1, nella forma $a+bx_i$
quindi una matrice di Vandermonde $V=|(1,x_0),(1,x_1),(1,x_2)|$
come dovrei procedere?
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