Integrazione Numerica Newton-Cotes
Mi aiutate a risolvere questo esercizio:
Approssima mediante la formula di Newton Cotes composita dei rettangoli (con 3 sotointervalli ) il valore dell'integrale
\(\displaystyle \int (\cos (\mathrm{x}) +2) \mathrm{dx}\) definito nell intervallo [0,\(\displaystyle \pi\) ]
Approssima mediante la formula di Newton Cotes composita dei rettangoli (con 3 sotointervalli ) il valore dell'integrale
\(\displaystyle \int (\cos (\mathrm{x}) +2) \mathrm{dx}\) definito nell intervallo [0,\(\displaystyle \pi\) ]
Risposte
Il regolamento richiede i tuoi tentativi e le tue considerazioni.
Paola
Paola
si, ero un po di fretta e non ho scritto tutto.
io sono partito dalla formula dei rettangoli composita
cioe \(\displaystyle I_1^{(C)} (f)= h \sum^n_{i=1} f (\frac{x_{i-1} + x_i}{2})\)
pero non capisco come applicare questa all'esercizio
io sono partito dalla formula dei rettangoli composita
cioe \(\displaystyle I_1^{(C)} (f)= h \sum^n_{i=1} f (\frac{x_{i-1} + x_i}{2})\)
pero non capisco come applicare questa all'esercizio
Allora hai un intervallo che va da 0 a p_greco... E abbiamo n sottointervalli per cui h = (p_greco-0)/n = (p_greco-o)/3= p_greco/3.
I tre sotto intervalli sono quindi (o,p_greco/3),(p_greco/3,2/3 p_greco),(2/3 p_greco,p_greco).
Ora applichiamo il tutto alla formula di newton cotes dei rettangoli e otteniamo:
p_greco/3((cos p_greco/6 +2) + (cos p_greco/2 + 2) + cos (5/3 p_greco +2))
Non faccio tutti i calcoli ma penso che puoi continuare solo..
I tre sotto intervalli sono quindi (o,p_greco/3),(p_greco/3,2/3 p_greco),(2/3 p_greco,p_greco).
Ora applichiamo il tutto alla formula di newton cotes dei rettangoli e otteniamo:
p_greco/3((cos p_greco/6 +2) + (cos p_greco/2 + 2) + cos (5/3 p_greco +2))
Non faccio tutti i calcoli ma penso che puoi continuare solo..
grazie mille!!!!!
scrivo la risoluzione di un altro esercizio simile tanto per vedere se ho capito:
Approssima mediante la formula di Newton-Cotes composita dei rettangoli (con 2 sottointervalli) il valore dell'integrale:
\(\displaystyle \int^\pi_0 (\sin x +2) dx \)
allora
\(\displaystyle h= \frac{\pi - 0}{n} \) quindi \(\displaystyle h=\pi/2 \)
i sotto intervalli sono \(\displaystyle (0,\frac{\pi}{2}) \) e \(\displaystyle ( \frac{\pi}{2},\pi)\)
la risoluzione dunque sarà : \(\displaystyle \frac{\pi}{2} ((\sin\frac{\pi}{4} +2)+(\sin\frac{3\pi}{4} +2)) \)
giusto??
grazie mille
scrivo la risoluzione di un altro esercizio simile tanto per vedere se ho capito:
Approssima mediante la formula di Newton-Cotes composita dei rettangoli (con 2 sottointervalli) il valore dell'integrale:
\(\displaystyle \int^\pi_0 (\sin x +2) dx \)
allora
\(\displaystyle h= \frac{\pi - 0}{n} \) quindi \(\displaystyle h=\pi/2 \)
i sotto intervalli sono \(\displaystyle (0,\frac{\pi}{2}) \) e \(\displaystyle ( \frac{\pi}{2},\pi)\)
la risoluzione dunque sarà : \(\displaystyle \frac{\pi}{2} ((\sin\frac{\pi}{4} +2)+(\sin\frac{3\pi}{4} +2)) \)
giusto??
grazie mille
giusto
ok!!!!gia che ci sono faccio una domanda !
Perchè la somma dei pesi du una formula di quadratura vale b -a?
No sinceramente non mi risulta questa cosa...
Allora mi sembra di ricordare che il grado di precisione di una formula di Newton Cotes pari a p esprime il fatto che la funzione integra ESATTAMENTE un polinomio di grado p.
Allora per polinomio di grado n In particolare se abbiamo f(x) = 1 otteniamo:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) ajf(xj) = integrale da a a b di f(x) dx
da cui:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) di aj.1 = integrale da a a b di 1 dx
da cui:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) di aj.1 = x (calcolato prima in b poi in a ( questo passaggio si ottiene integrando il secondo membro))
e ottieni quello che hai detto tu.
Allora mi sembra di ricordare che il grado di precisione di una formula di Newton Cotes pari a p esprime il fatto che la funzione integra ESATTAMENTE un polinomio di grado p.
Allora per polinomio di grado n In particolare se abbiamo f(x) = 1 otteniamo:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) ajf(xj) = integrale da a a b di f(x) dx
da cui:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) di aj.1 = integrale da a a b di 1 dx
da cui:
sommatoria (per j che va da 1 ad n) di aj.1 = x (calcolato prima in b poi in a ( questo passaggio si ottiene integrando il secondo membro))
e ottieni quello che hai detto tu.
ho fatt confusione io :S
grazie mille sempre chiarissimo
grazie mille sempre chiarissimo
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