Integrazione approssimata con Simpson
$int_0^2 (1+t^2)*sin(t/2)$
Stimare il numero di intervalli necessari affinchè l'errore dell'integrale approssimato con il metodo di Simpson sia inferire a $10^-8$
Come si potrebbe svolgere?
Stimare il numero di intervalli necessari affinchè l'errore dell'integrale approssimato con il metodo di Simpson sia inferire a $10^-8$
Come si potrebbe svolgere?
Risposte
Ciao, prova a proporre un tuo tentativo di soluzione.
Allora, io so che l'errore con il Metodo di Simpson è:
$-h^5/90 f^{(4)}(∫_0^2(1+t^2)⋅sin(t/2))$
con $h = (b-a)/n$ dove $n$ è il numero di intervalli e $f^{(4)}$ è la derivata quarta.
Tutto questo lo dovrei porre $\le 10^-8$
Da qui dovrei fare i vari calcoli ed isolare n? Ma non so, mi sembra un procedimento molto lungo.
$-h^5/90 f^{(4)}(∫_0^2(1+t^2)⋅sin(t/2))$
con $h = (b-a)/n$ dove $n$ è il numero di intervalli e $f^{(4)}$ è la derivata quarta.
Tutto questo lo dovrei porre $\le 10^-8$
Da qui dovrei fare i vari calcoli ed isolare n? Ma non so, mi sembra un procedimento molto lungo.
\(f^{(4)}\) in che punto è valutata?
L'essenza dell'analisi numerica sta nelle maggiorazioni, talvolta anche brutali. A nessuno importa esattamente quanti intervalli usare, ma è essenziale avere una stima.
In altre parole, non devi fare tutti quei conti a mano, ma devi prendere i vari pezzi e maggiorarli con qualcosa di molto più facile [e.g. numeri] e poi ricavare \(n\) come hai detto.
L'essenza dell'analisi numerica sta nelle maggiorazioni, talvolta anche brutali. A nessuno importa esattamente quanti intervalli usare, ma è essenziale avere una stima.
In altre parole, non devi fare tutti quei conti a mano, ma devi prendere i vari pezzi e maggiorarli con qualcosa di molto più facile [e.g. numeri] e poi ricavare \(n\) come hai detto.
Ecco, per l'appunto mi sembrava poco fattibile doversi mettere lì e fare ogni calcolo.
$f(4)$ è valutata nel punto $2$ o sbaglio?
Quindi maggiorando l'integrale prenderei:
$∫_0^2(t^3/2)$
e ne dovrei fare poi la derivata quarta, finendo con il ricavare gli intervallini, o meglio, la stima?
$f(4)$ è valutata nel punto $2$ o sbaglio?
Quindi maggiorando l'integrale prenderei:
$∫_0^2(t^3/2)$
e ne dovrei fare poi la derivata quarta, finendo con il ricavare gli intervallini, o meglio, la stima?
"Lory9618":
$f(4)$ è valutata nel punto $2$ o sbaglio?
Questo punto ti piace particolarmente?
"Raptorista":
[quote="Lory9618"]
$f(4)$ è valutata nel punto $2$ o sbaglio?
Questo punto ti piace particolarmente?[/quote]
Non saprei, è l'unica cosa che mi viene in mente
L'esercizio di altri dati non ne da, quindi mi viene da pensare che possa essere valutata nell'intervallo 0 e 2.
Ma il libro di teoria sicuramente ti dice in che punto va valutata la derivata quarta, magari vale la pena controllare!
In aggiunta, ti ricordo che \(f(x) > g(x)\) NON implica \(f'(x) > g'(x)\).
In aggiunta, ti ricordo che \(f(x) > g(x)\) NON implica \(f'(x) > g'(x)\).
"Raptorista":
Ma il libro di teoria sicuramente ti dice in che punto va valutata la derivata quarta, magari vale la pena controllare!
Mi sembra di aver compreso che viene valutata nel massimo valore compreso nell'intervallo [a,b]
"Lory9618":
Mi sembra di aver compreso che viene valutata nel massimo valore compreso nell'intervallo [a,b]
Che è ben diverso dal punto \(2\), ed è corretto.
Allora, mi sono riguardato un pò tutto, vediamo allora:
$ Et <= (b-a)^5/(2880*n^4) *M $
Con $Et$ la tolleranza dell'errore e $M = max[0,2]|f^(4)(t)|$, cioè derivata quarta della funzione.
La derivata quarta risultata:
$d^4/dt^4((1+t^2) sin(t/2)) = 1/16 (t^2-47) sin(t/2)-t cos(t/2)$
Ma penso che qui avrei dovuto applicare le maggiorazioni di cui mi parlavi.
Ho calcolato il massimo, che risultata essere:
$M := -(43 sin(1))/16-2 cos(1) = |-3| = 3$
Segue:
$(10^-8)≤(2)^5/(2880⋅n^4)*3 => n:= root(4) ((96*10^8)/2880)$
cioè circa $42$
Corretto? *dita incrociate*
$ Et <= (b-a)^5/(2880*n^4) *M $
Con $Et$ la tolleranza dell'errore e $M = max[0,2]|f^(4)(t)|$, cioè derivata quarta della funzione.
La derivata quarta risultata:
$d^4/dt^4((1+t^2) sin(t/2)) = 1/16 (t^2-47) sin(t/2)-t cos(t/2)$
Ma penso che qui avrei dovuto applicare le maggiorazioni di cui mi parlavi.
Ho calcolato il massimo, che risultata essere:
$M := -(43 sin(1))/16-2 cos(1) = |-3| = 3$
Segue:
$(10^-8)≤(2)^5/(2880⋅n^4)*3 => n:= root(4) ((96*10^8)/2880)$
cioè circa $42$
Corretto? *dita incrociate*
Il procedimento dovrebbe esserci.
Fai attenzione però che devi usare l'errore della formula di integrazione composita, che è
\[
E_{2,n} = - \frac{b-a}{180} \left( \frac{H}{2}\right)^4 f^{(4)}(\xi)
\]
per qualche \(\xi \in [a,b]\) ignoto, così che per andare sul sicuro fai il massimo di \(f^{(4)}(x)\) e prendi quello.
NON usare l'errore della formula base.
Fai attenzione però che devi usare l'errore della formula di integrazione composita, che è
\[
E_{2,n} = - \frac{b-a}{180} \left( \frac{H}{2}\right)^4 f^{(4)}(\xi)
\]
per qualche \(\xi \in [a,b]\) ignoto, così che per andare sul sicuro fai il massimo di \(f^{(4)}(x)\) e prendi quello.
NON usare l'errore della formula base.
Perfetto grazie, però non capisco come mai mi convenga la formula dell'errore composita.
Inoltre provando viene lo stesso risultato con l'unica differenza che il segno risulta negativo :/
Inoltre provando viene lo stesso risultato con l'unica differenza che il segno risulta negativo :/
Non è che ti conviene, quella è la formula giusta per l'integrazione su \([a,b]\) con \(n\) intervalli. L'altra è per l'integrazione con un solo intervallo.
Ultimissima cosa, e riguardo le maggiorazioni, cos'è che mi dicevi?
Che non è importante trovare esattamente il numero \(n\) richiesto, quanto piuttosto avere una maggiorazione rigorosa. Questo significa che se anziché calcolare l'integrale di qualcosa ne calcoli una maggiorazione, che tipicamente è più facile, va bene lo stesso.
Perfetto, ti ringrazio per il prezioso aiuto!
Buona giornata
Buona giornata
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