Formulazione di problemi decisionali
Salve a tutti. Sto preparando un esame di ricerca operativa all'università e ho delle difficoltà negli esercizi di formulazione di problemi decisionali. Ad esempio non ho capito come scrivere il modello matematico del seguente problema:
Un'industria farmaceutica produce tre miscele X, Y e Z utilizzando quattro materie prime P1,P2, P3
e P4. Per la produzione di Z, inoltre, viene impiegata anche la miscela X. La tabella riporta i grammi delle varie
componenti necessarie per produrre un grammo di ogni tipo di miscela.
P1 P2 P3 P4 X
X 0.2 0.4 0.3 0.5
Y 0.4 0.1 0.2 0.3
Z 0.1 0.2 0.2 0.1 0.3
Giornalmente l'industria ha a disposizione 200, 350, 500 e 550 grammi di P1, P2, P3 e P4, rispettivamente. Inoltre,
per esigenze di produzione, la produzione di miscela Z non deve superare i 30 grammi. Sapendo che il pro tto ricavato
dalla vendita delle tre miscele e rispettivamente di 2, 2.5 e 3 Euro/gr, determinare la produzione giornaliera che
massimizza il profi tto.
Potreste darmi una mano per favore? La cosa che mi manda in crisi è il fatto che per produrre Z occorre utilizzare X...
Grazie a tutti
p.s. non so come fare la tabella... spero cmq si capisca
Un'industria farmaceutica produce tre miscele X, Y e Z utilizzando quattro materie prime P1,P2, P3
e P4. Per la produzione di Z, inoltre, viene impiegata anche la miscela X. La tabella riporta i grammi delle varie
componenti necessarie per produrre un grammo di ogni tipo di miscela.
P1 P2 P3 P4 X
X 0.2 0.4 0.3 0.5
Y 0.4 0.1 0.2 0.3
Z 0.1 0.2 0.2 0.1 0.3
Giornalmente l'industria ha a disposizione 200, 350, 500 e 550 grammi di P1, P2, P3 e P4, rispettivamente. Inoltre,
per esigenze di produzione, la produzione di miscela Z non deve superare i 30 grammi. Sapendo che il pro tto ricavato
dalla vendita delle tre miscele e rispettivamente di 2, 2.5 e 3 Euro/gr, determinare la produzione giornaliera che
massimizza il profi tto.
Potreste darmi una mano per favore? La cosa che mi manda in crisi è il fatto che per produrre Z occorre utilizzare X...
Grazie a tutti
p.s. non so come fare la tabella... spero cmq si capisca
Risposte
Ciao,
vediamo un po'.
Ho pensato a qualcosa ma c'è un vincolo che non mi convince. Ora ti scrivo quello che penso sia corretto per una parte del problema. Se il vincolo che non sono sicuro dell'esattezza fosse da esprime in altro modo il problema cambierebbe; nel senso che le variabili sarebbero da scrivere in altra maniera.
Per il momento provo ad indirizzarti su un tipo di ragionamento.
Prima di tutto. per come lo ho pensato, è meglio lavorare con i valori tabellati interi (poi spiego il motivo). Visto che i grammi sono un valore scalare moltiplichiamo tutti i valori per $10$ perciò siamo in decigrammi ed il costo non sarà più euro/grammo ma euro/decigrammo, qui perciò dividiamo.
Siano ${x_i,y_i,z_i}_{i \in {1,..,p}} ^^ z_{p+1}$ le variabili di decisione, dove rappresentano i decigrammi totali giornarnalieri per ogni miscela.
La funzione è massimizzare il profitto considerando il prezzo di vendita per la produzione giornaliera (euro/decigrammo):
Maximize $c_1X + c_2Y + c_3Z$
i vincoli sono standard da rappresentare, tranne la relazione miscela/materie prime (la tabella):
- massima produzione di Z
$Z <= 300$
- massima disposizione giornaliera delle materia prime data dalla somma di ogni parte totale della miscela:
$x_1 + y_1 + z_1 <= 2500$
...
la relazione di Z con X è rapprensentato da:
$z_{p+1} <= X$
- vincolo miscela/materie prime: questo vincolo non è rappresentabile direttamente, perciò bisogna cercare di tirarlo fuori dai dati a disposizione. Noi sappiamo che per ogni grammo di X ci vogliono 2 decigrammi di $P1$. Perciò vorrebbe dire che la variabile $x_1$, che rappresenta il valore totale di produzione, è un multiplo del valore tabellato perciò: $[x_1]_{2}$ cioè siamo nella classe di congruenza di $2$.
A noi interessa solamente che ogni miscela siano formulate secondo una precisa tabella, perciò ogni variabile deve essere multiplo (o differenza) delle materia prime e nient'altro.
$[{x_i,y_i,z_i}]_{p_{ij}}$ con $i=1...p$ e $j=1...3$ (la tabella)
In modo più praticolo ci serve un test per capire se un dato valore (del problema) a senso o meno. Questo è semplicemente il modulo del valore con la variabile: se $0$ è un multiplo; viene scartato altrimenti.
es per capirci:
si può essere anche più formali ma te lo ho scritto così per farti capire l'idea, per la correttezza devo rivederlo.
Se hai dubbi (ne ho anche io) chiedi pure
PS: una domanda, perchè lo hai chiamato "problema decisionale"? non mi sembra che il problema chiedi una "decisione" ma è più un problema di ottimizzazione.
vediamo un po'.
Ho pensato a qualcosa ma c'è un vincolo che non mi convince. Ora ti scrivo quello che penso sia corretto per una parte del problema. Se il vincolo che non sono sicuro dell'esattezza fosse da esprime in altro modo il problema cambierebbe; nel senso che le variabili sarebbero da scrivere in altra maniera.
Per il momento provo ad indirizzarti su un tipo di ragionamento.
Prima di tutto. per come lo ho pensato, è meglio lavorare con i valori tabellati interi (poi spiego il motivo). Visto che i grammi sono un valore scalare moltiplichiamo tutti i valori per $10$ perciò siamo in decigrammi ed il costo non sarà più euro/grammo ma euro/decigrammo, qui perciò dividiamo.
Siano ${x_i,y_i,z_i}_{i \in {1,..,p}} ^^ z_{p+1}$ le variabili di decisione, dove rappresentano i decigrammi totali giornarnalieri per ogni miscela.
La funzione è massimizzare il profitto considerando il prezzo di vendita per la produzione giornaliera (euro/decigrammo):
Maximize $c_1X + c_2Y + c_3Z$
i vincoli sono standard da rappresentare, tranne la relazione miscela/materie prime (la tabella):
- massima produzione di Z
$Z <= 300$
- massima disposizione giornaliera delle materia prime data dalla somma di ogni parte totale della miscela:
$x_1 + y_1 + z_1 <= 2500$
...
la relazione di Z con X è rapprensentato da:
$z_{p+1} <= X$
- vincolo miscela/materie prime: questo vincolo non è rappresentabile direttamente, perciò bisogna cercare di tirarlo fuori dai dati a disposizione. Noi sappiamo che per ogni grammo di X ci vogliono 2 decigrammi di $P1$. Perciò vorrebbe dire che la variabile $x_1$, che rappresenta il valore totale di produzione, è un multiplo del valore tabellato perciò: $[x_1]_{2}$ cioè siamo nella classe di congruenza di $2$.
A noi interessa solamente che ogni miscela siano formulate secondo una precisa tabella, perciò ogni variabile deve essere multiplo (o differenza) delle materia prime e nient'altro.
$[{x_i,y_i,z_i}]_{p_{ij}}$ con $i=1...p$ e $j=1...3$ (la tabella)
In modo più praticolo ci serve un test per capire se un dato valore (del problema) a senso o meno. Questo è semplicemente il modulo del valore con la variabile: se $0$ è un multiplo; viene scartato altrimenti.
es per capirci:
x1%2 + x2%4 + x3%3 + x4%5 = 0
si può essere anche più formali ma te lo ho scritto così per farti capire l'idea, per la correttezza devo rivederlo.
Se hai dubbi (ne ho anche io) chiedi pure
PS: una domanda, perchè lo hai chiamato "problema decisionale"? non mi sembra che il problema chiedi una "decisione" ma è più un problema di ottimizzazione.
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