Fixed point
Testo dell'esercizio:
\(\displaystyle \phi'(x)=1-3x^{2} \Rightarrow \phi'(0)=1 \) e quindi non posso usare il teorema di Ostrowski. Come faccio a dimostrare la convergenza?
Let \(\displaystyle \phi(x)=x-x^{3} \) which admits \(\displaystyle \xi=0 \) as a fixed point. Compute \( \displaystyle \phi'(x) \) and test the convergence of the sequence \(\displaystyle x^{(k+1)}=\phi(x^{(k)}) \) for \(\displaystyle x^{(0)} \in [-1,1] \)
\(\displaystyle \phi'(x)=1-3x^{2} \Rightarrow \phi'(0)=1 \) e quindi non posso usare il teorema di Ostrowski. Come faccio a dimostrare la convergenza?
Risposte
nessuno? XD vabbè mi sa che mi conviene scrivere all'esercitatore!
up!
aiuto! 
ho plottato un cobweb diagram con cui sono riuscito a "vedere" che converge, ma non riesco a dimostrarlo formalmente.
ho plottato un cobweb diagram con cui sono riuscito a "vedere" che converge, ma non riesco a dimostrarlo formalmente.
È vero che la derivata prima vale 1, però \(x = 0\) è anche punto di massimo per la derivata, quindi di fatto gli intorni [opportunamente piccoli] dell'origine vengono contratti.
"Raptorista":
È vero che la derivata prima vale 1, però \(x = 0\) è anche punto di massimo per la derivata, quindi di fatto gli intorni [opportunamente piccoli] dell'origine vengono contratti.
Grazie della risposta.
Si, hai ragione, il punto è quanto deve essere piccolo l'intorno dell'origine.
Il testo chiede di dire se il metodo converge dato un qualunque punto (guess) iniziale \(\displaystyle \in [-1,1] \). Plottando la derivata in tale intervallo, si scopre che agli estremi di tale intervallo è \(\displaystyle < -1 \), così come in un intorno abbastanza piccolo degli estremi. Quindi verrebbe da dire che la risposta è no, perché preso il punto iniziale abbastanza vicino agli estremi dell'intervallo richiesto il metodo non dovrebbe convergere (in realtà il teorema dice che esiste almeno un \(\displaystyle x^(0) \) nell'intervallo tale che il metodo non converge)
Il problema è che invece converge. Si vede sia calcolando le iterate in MATLAB, sia con il cobweb diagram.
Infatti non è quello il ragionamento che devi fare: la funzione data è una contrazione di \([-1,1]\), non importa se in alcuni punti la derivata è uguale ad uno in modulo.
Ciò che conta è che l'immagine di \([-1,1]\) è più piccola di \([-1,1]\).
Ciò che conta è che l'immagine di \([-1,1]\) è più piccola di \([-1,1]\).
"Raptorista":
Infatti non è quello il ragionamento che devi fare: la funzione data è una contrazione di \([-1,1]\), non importa se in alcuni punti la derivata è uguale ad uno in modulo.
Ciò che conta è che l'immagine di \([-1,1]\) è più piccola di \([-1,1]\).
Ma questa è solo una delle ipotesi del teorema di convergenza e mi garantisce l'esistenza di almeno un punto fisso, non che la successione mi converge.
Allora, per capirci, io dispongo di questi due teoremi.
Successione (2.20): \(\displaystyle x^{(k+1)}=\phi(x^{(k)}), k \ge 0 \)
(non so perché ma gli indici della successione li mette ad apice)
Proposizione 2.1: Consideriamo la successione (2.20)
1) Supponiamo che \(\displaystyle \phi(x) \in \mathcal{C}^0([a,b])\) e \(\displaystyle \phi(x) \in [a,b] \; \forall x \in [a,b] \). Allora esiste almeno un punto fisso \(\displaystyle \alpha \in [a,b] \)
Questo è quello che mi hai detto tu. Poi c'è il punto 2
2) Se supponiamo inoltre che
\(\displaystyle \exists L<1 \) tale che \(\displaystyle |\phi(x_1)-\phi(x_2)| \le L \, |x_1-x_2| \; \forall x_1,x_2 \in [a,b] \)
allora \(\displaystyle \phi \) ha un unico punto fisso \(\displaystyle \alpha \in [a,b] \) e la successione (2.20) converge ad \(\displaystyle \alpha \), qualunque sia la scelta di \(\displaystyle x^0 \) purchè \(\displaystyle x^0 \in [a,b] \)
In realtà c'è anche il teorema di Ostrowski, ma in qualche modo la lipschizianità della funzione con costante di lipschitz < 1 entra sempre, solo che la richiede per un intorno infinitesimo del punto fisso (e quindi in pratica che la derivata nel punto fisso sia \(\displaystyle <1 \)). Tuttavia, come hai detto tu, questo lo posso usare per un punto iniziale abbastanza vicino al punto fisso, ma poichè il quesito mi chiede se converge per ogni \(\displaystyle x^0 \in [a,b] \), non posso che applicare il teorema sopra (no?)
Ok, ho capito cosa dici ed ho capito dove sono stato impreciso prima.
Considera questo allora: la funzione è dispari, quindi ragiona solo su \([0,1]\) temporaneamente.
L'immagine di \([0,1]\) è contenuta in \([0, \frac 1 2]\) quindi, qualunque sia la guess iniziale \(x^0\), \(x^1 \in [0, \frac 1 2]\).
Considera allora solo successioni che partono da questo intervallo: è immediato che \(\phi(x) \le x\) per \(x \in [0, \frac 1 2]\), e la derivata prima è altrettanto piacevole.
Prova tu a proseguire, altrimenti ti darò un altro indizio
P.s. spero di non aver fatto ulteriore casino ora XD
Considera questo allora: la funzione è dispari, quindi ragiona solo su \([0,1]\) temporaneamente.
L'immagine di \([0,1]\) è contenuta in \([0, \frac 1 2]\) quindi, qualunque sia la guess iniziale \(x^0\), \(x^1 \in [0, \frac 1 2]\).
Considera allora solo successioni che partono da questo intervallo: è immediato che \(\phi(x) \le x\) per \(x \in [0, \frac 1 2]\), e la derivata prima è altrettanto piacevole.
Prova tu a proseguire, altrimenti ti darò un altro indizio
P.s. spero di non aver fatto ulteriore casino ora XD
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