Fattorizzazione QR: passaggio oscuro
Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.
In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$
Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?
In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$
Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?
Risposte
"lore":
Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.
In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$
Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?
Perché l'azione di una matrice ortogonale non fa variare la norma dei vettori.
"franced":
[quote="lore"]Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.
In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$
Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?
Perché l'azione di una matrice ortogonale non fa variare la norma dei vettori.[/quote]
Perché?

Le matrici ortogonali sono le uniche che hanno la caratteristica seguente:
$||Q v || = ||v||$ per ogni vettore $v$.
$||Q v || = ||v||$ per ogni vettore $v$.
La dimostrazione è parecchio arcana da riportare?
Sia per curiosità mia sia perché, nel caso, farei una più discreta figura...
Sia per curiosità mia sia perché, nel caso, farei una più discreta figura...
"lore":
La dimostrazione è parecchio arcana da riportare?
Sia per curiosità mia sia perché, nel caso, farei una più discreta figura...
Guarda che è una delle possibili definizioni.
Ah beh, fosse riportata anche sul libro...
Grazie comunque.
Grazie comunque.
"lore":
Ah beh, fosse riportata anche sul libro...
Grazie comunque.
Se non ti va bene vedila così:
$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$
"franced":
Se non ti va bene vedila così:
$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$
Ok, già meglio anche a livello mnemonico.
"lore":
[quote="franced"]
Se non ti va bene vedila così:
$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$
Ok, già meglio anche a livello mnemonico.[/quote]
Livello mnemonico?
Cosa c'entra?
E' il ragionamento che conta!
No hai frainteso: ricordo meglio la nuova definizione se me la posso ricavare a partire da una vecchia.
La matematica è troppo affascinante per potersela studiare a memoria
.
La matematica è troppo affascinante per potersela studiare a memoria

"lore":
No hai frainteso: ricordo meglio la nuova definizione se me la posso ricavare a partire da una vecchia.
La matematica è troppo affascinante per potersela studiare a memoria.
Ma non è una nuova definizione!
Franced... per me sì!
Non è che posto per vedere se siete bravi...
Non è che posto per vedere se siete bravi...