Fattorizzazione QR: passaggio oscuro

freddofede
Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.

In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$

Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?

Risposte
franced
"lore":
Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.

In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$

Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?


Perché l'azione di una matrice ortogonale non fa variare la norma dei vettori.

freddofede
"franced":
[quote="lore"]Dunque, durante la dimostrazione della fattorizzazione QR di una matrice, succede un fatto di cui non mi capacito.

In particolare: $||Q(Rx-Q^Tb)||_2^2 \equiv ||(Rx-Q^Tb)||_2^2$

Q è una matrice ortogonale. Perché sparisce all'interno della norma?


Perché l'azione di una matrice ortogonale non fa variare la norma dei vettori.[/quote]

Perché? :-)

franced
Le matrici ortogonali sono le uniche che hanno la caratteristica seguente:

$||Q v || = ||v||$ per ogni vettore $v$.

freddofede
La dimostrazione è parecchio arcana da riportare?
Sia per curiosità mia sia perché, nel caso, farei una più discreta figura...

franced
"lore":
La dimostrazione è parecchio arcana da riportare?
Sia per curiosità mia sia perché, nel caso, farei una più discreta figura...


Guarda che è una delle possibili definizioni.

freddofede
Ah beh, fosse riportata anche sul libro...
Grazie comunque.

franced
"lore":
Ah beh, fosse riportata anche sul libro...
Grazie comunque.



Se non ti va bene vedila così:

$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$

freddofede
"franced":


Se non ti va bene vedila così:

$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$


Ok, già meglio anche a livello mnemonico.

franced
"lore":
[quote="franced"]

Se non ti va bene vedila così:

$||Q v||^2 = (Qv)^T \cdot (Qv) = v^T Q^T Q v = v^T v = || v ||^2$


Ok, già meglio anche a livello mnemonico.[/quote]


Livello mnemonico?
Cosa c'entra?

E' il ragionamento che conta!

freddofede
No hai frainteso: ricordo meglio la nuova definizione se me la posso ricavare a partire da una vecchia.

La matematica è troppo affascinante per potersela studiare a memoria :-).

franced
"lore":
No hai frainteso: ricordo meglio la nuova definizione se me la posso ricavare a partire da una vecchia.

La matematica è troppo affascinante per potersela studiare a memoria :-).


Ma non è una nuova definizione!

freddofede
Franced... per me sì!

Non è che posto per vedere se siete bravi...

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