Esercizio sulle serie con i numeri complessi
Salve, non so se sono nella sezione giusta... ad ogni modo l'esercizio è il seguente:
Determinare il raggio di convergenza della serie intera con $a_n=(\Gamma(\alpha+n)\Gamma(\beta+n))/(\Gamma(\gamma+n)n!)$.
La funzione $\Gamma$ è definita su $\Pi:={z ∈ C : Re(z) > 0}$ da $\Gamma(z) = \int_0^(+∞) x^(z-1) e^(-x)\ \text{d} x$.
Indicazione: stabilire innanzitutto che per $z ∈ \Pi$, $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$.
Allora io sono riuscita a determinare il raggio di convergenza con la regola di d'Alembert. L'indicazione che mi da il problema come la stabilisco(?). Questa cosa non l'ho capita...
Determinare il raggio di convergenza della serie intera con $a_n=(\Gamma(\alpha+n)\Gamma(\beta+n))/(\Gamma(\gamma+n)n!)$.
La funzione $\Gamma$ è definita su $\Pi:={z ∈ C : Re(z) > 0}$ da $\Gamma(z) = \int_0^(+∞) x^(z-1) e^(-x)\ \text{d} x$.
Indicazione: stabilire innanzitutto che per $z ∈ \Pi$, $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$.
Allora io sono riuscita a determinare il raggio di convergenza con la regola di d'Alembert. L'indicazione che mi da il problema come la stabilisco(?). Questa cosa non l'ho capita...
Risposte
Quella funzione intanto e' la Gamma di Eulero, ossia il fattoriale generalizzato ai reali.
Per cui in prima istanza quella e' la proprieta' dei fattoriali: $(n+1)! = (n+1) n!$.
Sul campo dei reali si dimostra integrando per parti:
$z \Gamma(z) = z\int_0^(+∞) x^(z-1) e^(-x)\ \text{d} x = x^z e^{-x} |_0^{infty} + \int_0^(+∞) x^z e^(-x)\ \text{d} x = $
$= \int_0^(+∞) x^z e^(-x)\ \text{d} x = \Gamma(z+1)$
Per cui in prima istanza quella e' la proprieta' dei fattoriali: $(n+1)! = (n+1) n!$.
Sul campo dei reali si dimostra integrando per parti:
$z \Gamma(z) = z\int_0^(+∞) x^(z-1) e^(-x)\ \text{d} x = x^z e^{-x} |_0^{infty} + \int_0^(+∞) x^z e^(-x)\ \text{d} x = $
$= \int_0^(+∞) x^z e^(-x)\ \text{d} x = \Gamma(z+1)$
Chiaro! Grazie mille
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