Esercizio sul metodo di Jacobi e di Gauss-Seidel

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!
Devo stabilire se i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel convergono per la matrice: [tex]A=\begin{bmatrix} 1&-2& 2 \\ -1 &
1 & -1 \\ -2 & -2 &1 \end{bmatrix}[/tex].
Dal momento che:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo iterativo della forma [tex]\mathbf{x}^{(k+1)}=A\mathbf{x}^{(k)}+C[/tex] sia convergente è che il raggio spettrale [tex]\rho(A)[/tex] della matrice d'iterazione sia minore di uno

calcolo il polinomio caratteristico della matrice [tex]A[/tex] che risulta: [tex]p(\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1[/tex]. Risolvendo l'equazione [tex]p(\lambda)=0[/tex] ottengo [tex]\lambda=1[/tex] (con molteplicità algebrica pari a 3). Essendo [tex]\rho(A)=\max\{|\lambda_i|\}=1[/tex], concludo che i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel non sono convergenti per la matrice [tex]A[/tex].

Mi chiedo:
1) La risoluzione da me proposta è corretta?
2) Ho interpretato correttamente la richiesta dell'esercizio? Cioè: dire che i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel sono convergenti per la matrice [tex]A[/tex] sottintende che [tex]A[/tex] sia la matrice di iterazione del metodo iterativo in oggetto (Jacobi o Gauss-Seidel)?

Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[Andrea902]

Forse credo di aver capito.
La matrice [tex]A[/tex] è la matrice del sistema [tex]Ax=b[/tex]. Le matrici di iterazione dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel hanno delle forme particolari che si possono dedurre da [tex]A[/tex] quindi credo che bisogna far riferimento a quelle alle quali andrà applicato il criterio del precedente post...