Esercizio metodo di Newton
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio:
Vogliamo stimare il valore di \(\displaystyle \pi/4 \) risolvendo l'equazione \(\displaystyle tan(x)=1 \)
1) stabilire teoricamente se per calcolare la radice compresa nell'intervallo \(\displaystyle [0.6;0.8] \) dell'equazione suddetta può essere utilizzato il metodo di Newton;
2) in ogni caso, verificare sperimentalmente la risposta di cui al punto precedente, scegliendo come innesco l'estremo di Fourier dell'intervallo proposto, eseguendo due iterate del metodo e ottenendo \(\displaystyle x1 \) e \(\displaystyle x2 \). Si considerino 4 cifre dopo il punto decimale;
3) stimare l'errore che si commette calcolando \(\displaystyle x1 \) in un calcolatore che lavora in base \(\displaystyle \beta=10 \), con 3 cifre per la mantissa e la caratteristica compresa tra -3 e 4 e che opera per troncamento.
Una volta assodato che \(\displaystyle \pi/4 \) è una radice contenuta nell'intervallo \(\displaystyle [0.6;0.8] \), come faccio a verificare la convergenza con il metodo di Newton e come scelgo l'estremo di Fourier che serve come innesco per il punto successivo?
Vogliamo stimare il valore di \(\displaystyle \pi/4 \) risolvendo l'equazione \(\displaystyle tan(x)=1 \)
1) stabilire teoricamente se per calcolare la radice compresa nell'intervallo \(\displaystyle [0.6;0.8] \) dell'equazione suddetta può essere utilizzato il metodo di Newton;
2) in ogni caso, verificare sperimentalmente la risposta di cui al punto precedente, scegliendo come innesco l'estremo di Fourier dell'intervallo proposto, eseguendo due iterate del metodo e ottenendo \(\displaystyle x1 \) e \(\displaystyle x2 \). Si considerino 4 cifre dopo il punto decimale;
3) stimare l'errore che si commette calcolando \(\displaystyle x1 \) in un calcolatore che lavora in base \(\displaystyle \beta=10 \), con 3 cifre per la mantissa e la caratteristica compresa tra -3 e 4 e che opera per troncamento.
Una volta assodato che \(\displaystyle \pi/4 \) è una radice contenuta nell'intervallo \(\displaystyle [0.6;0.8] \), come faccio a verificare la convergenza con il metodo di Newton e come scelgo l'estremo di Fourier che serve come innesco per il punto successivo?
Risposte
Per verificare la convergenza puoi iniziare a verificare se l'errore va a zero. L'estremo di Fourier sinceramente non so cosa sia, quindi dovrai dare una definizione.
Ciao, grazie per la risposta.
Quindi una volta verificato che l'errore tende a 0 ho la certezza che Newton converge?
Potrei verificare la convergenza anche con le condizioni di Newton? Ovvero:
\(\displaystyle 1)f\text{ derivabile due volte con continuità in un intervallo }[a,b] \)
\(\displaystyle 2)\text{il segno di }f^{'}(x)\text{ e }f^{''}(x)\text{ è costante per }x\in[a,b] \)
\(\displaystyle 3)\text{l'approssimazione iniziale }x_{0}\text{ è tale che }f(x_{0})f^{''}(x_{0})>0 \)
La definizione di estremo di Fourier è questa:
\(\displaystyle \text{Data }f\text{ continua in un intervallo }[a,b]\text{ con }f(a)f(b)<0, \)
\(\displaystyle \text{si dice estremo di Fourier l'estremo verso cui }f\text{ rivolge la convessità.} \)
\(\displaystyle \text{Se esiste }f^{''}\text{ allora l'estremo è }a\text{ se }f(a)f^{''}(a)>0\text{ oppure }b\text{ se }f(b)f^{''}(b)>0 \)
Quindi una volta verificato che l'errore tende a 0 ho la certezza che Newton converge?
Potrei verificare la convergenza anche con le condizioni di Newton? Ovvero:
\(\displaystyle 1)f\text{ derivabile due volte con continuità in un intervallo }[a,b] \)
\(\displaystyle 2)\text{il segno di }f^{'}(x)\text{ e }f^{''}(x)\text{ è costante per }x\in[a,b] \)
\(\displaystyle 3)\text{l'approssimazione iniziale }x_{0}\text{ è tale che }f(x_{0})f^{''}(x_{0})>0 \)
La definizione di estremo di Fourier è questa:
\(\displaystyle \text{Data }f\text{ continua in un intervallo }[a,b]\text{ con }f(a)f(b)<0, \)
\(\displaystyle \text{si dice estremo di Fourier l'estremo verso cui }f\text{ rivolge la convessità.} \)
\(\displaystyle \text{Se esiste }f^{''}\text{ allora l'estremo è }a\text{ se }f(a)f^{''}(a)>0\text{ oppure }b\text{ se }f(b)f^{''}(b)>0 \)
Puoi verificare la convergenza anche con le condizioni che hai elencato, sì.
Perfetto grazie 
Per quanto riguarda il secondo punto dovrei scegliere l'estremo di Fourier tra i due punti proposti (\(\displaystyle 0.6 \) e \(\displaystyle 0.8 \))?
In entrambi i casi però non si verificano le condizioni \(\displaystyle f(0.6)f^{''}(0.6)>0 \) oppure \(\displaystyle f(0.8)f^{''}(0.8)>0 \), quindi non posso scegliere uno dei due punti come estremo.
Che sia sbagliata la traccia dell'esercizio?
Per quanto riguarda il secondo punto dovrei scegliere l'estremo di Fourier tra i due punti proposti (\(\displaystyle 0.6 \) e \(\displaystyle 0.8 \))?
In entrambi i casi però non si verificano le condizioni \(\displaystyle f(0.6)f^{''}(0.6)>0 \) oppure \(\displaystyle f(0.8)f^{''}(0.8)>0 \), quindi non posso scegliere uno dei due punti come estremo.
Che sia sbagliata la traccia dell'esercizio?
"NightWnvol":
In entrambi i casi però non si verificano le condizioni \(\displaystyle f(0.6)f^{''}(0.6)>0 \) oppure \(\displaystyle f(0.8)f^{''}(0.8)>0 \)
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