[ESERCIZIO] - formulazione problema
Un'azienda deve pianificare la produzione di un bene per i prossimi 3 mesi. La domanda dei clienti, da soddisfare interamente, è nota a priori per ciascun mese. Inoltre, la massima quantità che può essere prodotta in ciascun mese (capacità produttiva) e i costi unitari di produzione sono riassunti nella seguente tabella:
L'azienda dispone di un magazzino per conservare la produzione in eccesso al costo mensile di 1 Euro/unità di bene. Attualmente nel magazzino sono presenti 300 unità di bene e si desidera che ala fine del terzo mese esso sia vuoto.
(a) Formulare un problema di PL per il problema di soddisfare la domanda a costo (totale) minimo e determinare un piano di produzione trimestrale ottimo.
(b) Un' analisi più approfondita ha stabilito che l'azienda sopporta un ulteriore costo ogni volta che il livello di scorta cambia da un mese al mese successivo a causa di un riattrezzaggio del magazzino. Tale costo è pari a 0,5 Euro per ogni unità di bene giacente in magazzino in più o in meno rispetto al mese precedente.
Formulare un modello di PL che, oltre ai requisiti del punto (a), imponga che il costo aggiuntivo di riattrezzaggio non superi 500 Euro.
Verificare infine se il piano di produzione ottimo determinato nel punto (a) sia ammissibile per il nuovo modello.
SOLUZIONE punto (a)
ANALISI DEL PROBLEMA
Si tratta di un problema multiperiodo; di allocazione di risorse limitate con pianificazione effettuata su un orizzonte temporale composto da più periodi elementari.
FORMULAZIONE
Introduco le variabili $x_1$, $x_2$, $x_3$ associate alla quantità di prodotti fabbricati nel primo, nel secondo e nel terzo mese e le variabili $y_1$, $y_2$ che indicano le quantità immagazzinate nel primo e nel secondo mese.
FUNZIONE OBIETTIVO
$3x_1+4x_2+6x_3+y_1+y_2$
VINCOLI SULLA CAPACITA' di produzione nei tre mesi:
$x_1 <= 1500$
$x_2 <= 1300$
$x_3 <= 1600$
Vincoli che rappresentano che alla fine del primo e del secondo mese una parte dei prodotti possono essere immagazzinati
$x_1+300 =1600+y_1$
$x_2+y_1 = 1250+y_2$
$x_3+y_2 = 1400$
E' corretto ?!?
Per quanto riguarda il punto (b) non saprei come iniziare l'impostazione.
Grazie anticipatamente
| MESE 1 | MESE 2 | MESE 3 | |
|---|---|---|---|
| 1500 | 1300 | 1600 | Domanda (unità di bene) |
| 1250 | 1400 | Costi di produzione (EURO/unità di bene) | 3 |
| 6 |
L'azienda dispone di un magazzino per conservare la produzione in eccesso al costo mensile di 1 Euro/unità di bene. Attualmente nel magazzino sono presenti 300 unità di bene e si desidera che ala fine del terzo mese esso sia vuoto.
(a) Formulare un problema di PL per il problema di soddisfare la domanda a costo (totale) minimo e determinare un piano di produzione trimestrale ottimo.
(b) Un' analisi più approfondita ha stabilito che l'azienda sopporta un ulteriore costo ogni volta che il livello di scorta cambia da un mese al mese successivo a causa di un riattrezzaggio del magazzino. Tale costo è pari a 0,5 Euro per ogni unità di bene giacente in magazzino in più o in meno rispetto al mese precedente.
Formulare un modello di PL che, oltre ai requisiti del punto (a), imponga che il costo aggiuntivo di riattrezzaggio non superi 500 Euro.
Verificare infine se il piano di produzione ottimo determinato nel punto (a) sia ammissibile per il nuovo modello.
SOLUZIONE punto (a)
ANALISI DEL PROBLEMA
Si tratta di un problema multiperiodo; di allocazione di risorse limitate con pianificazione effettuata su un orizzonte temporale composto da più periodi elementari.
FORMULAZIONE
Introduco le variabili $x_1$, $x_2$, $x_3$ associate alla quantità di prodotti fabbricati nel primo, nel secondo e nel terzo mese e le variabili $y_1$, $y_2$ che indicano le quantità immagazzinate nel primo e nel secondo mese.
FUNZIONE OBIETTIVO
$3x_1+4x_2+6x_3+y_1+y_2$
VINCOLI SULLA CAPACITA' di produzione nei tre mesi:
$x_1 <= 1500$
$x_2 <= 1300$
$x_3 <= 1600$
Vincoli che rappresentano che alla fine del primo e del secondo mese una parte dei prodotti possono essere immagazzinati
$x_1+300 =1600+y_1$
$x_2+y_1 = 1250+y_2$
$x_3+y_2 = 1400$
E' corretto ?!?
Per quanto riguarda il punto (b) non saprei come iniziare l'impostazione.
Grazie anticipatamente
Risposte
Provo a dirti la mia, prendi quello che ti dico criticamente in parte a causa dell'ora a cui ti sto rispondendo e in parte perché ho studiato questa materia un anno fa e potrei fare qualche scivolone!
Non riesco a fare le cose mettendo i numeri, preferisco usare le lettere quindi:
$x_i = text(produzione nel mese i)$
$c_i = text(costo produzione di una unità nel mese i)$
$d_i = text(domanda mese i)$
$y_i = text(unità in magazzino nel mese i)$
$p_i = text(capacità produttiva max nel mese i)$
$k_i = text(costo immagazzinamento di una unità nel mese i)$
$r_i = text(costo riattrezzaggio)$
$bar r = text(costo per ogni unità in più o in meno nel magazzino)$
$r_(max)= text(costo massimo per il riattrezzaggio)$
$min sum_{i=1}^3 c_i x_i + sum_{i=1}^3 k_i y_i + sum_{i=1}^3 r_i$
$text (s.t.)$
$y_(i-1)+x_i >= d_i$ $text ( )i=1,2,3$
$y_i=x_i+y_(i-1)-d_1$ $text( )i=1,2,3$
$x_i<=p_i$ $text( )i=1,2,3$
$y_3=0$
$r_i=|y_i-y_(i-1)|bar r$ $text( )i=1,2,3$
$r_i<=r_(max)$ $text( )i=1,2,3$
Non ho capito bene il testo, se il costo massimo per il riattrezzaggio è cumulato allora sostituisci l'ultimo vincolo con questo:
$sum_{i=1}^3 r_i<=r_(max)$ $text( )i=1,2,3$
Il primo vincolo che ti ho scritto impone il soddisfacimento della domanda(probabilmente con un minimo di attenzione si potrebbe omettere perché il secondo è un vincolo molto forte e fa la funzione di tutti e due);
Il secondo vincolo permette di calcolare la quantità dei pezzi in magazzino al termine del mese i;
Il terzo vincolo impone di non superare la capacità produttiva;
Il quarto vincolo impone che al terzo mese il magazzino sia vuoto;
Il quinto ti permette di calcolare il costo per il riattrezzaggio nel mese i;
Il sesto impone il non superamento del costo max per il riattrezzaggio (qualora il limite sia mensile, altrimenti lo sostituisci come ti ho detto sopra).
Aggiungo tre cose:
1) teoricamente nei problemi di PL e PLI non si dovrebbero usare i vincoli all'uguaglianza perché creano problemi nel trovare la soluzione (ad es. usando il simplesso)
2)il modulo che ho messo nel quinto vincolo andrebbe espresso come un insieme di vincoli, te l'ho scritto così perché è più compatto, però non andrebbe bene[nota]O meglio, non andrebbe bene alla professoressa con cui io ho sostenuto l'esame. Il problema è sempre riferibile al solutore che in teoria sa leggere solo le disuguaglianze[/nota].
3) andrebbero aggiunti i vincoli che impongono che $x_i>=0$ $text( )i=1,2,3$ e $y_i>=0$ $text( )i=1,2,3$. In particolare mettendo quest'ultimo si potrebbe togliere il primo vincolo che ho inserito [nota]Spero di non sbagliare ma l'uguaglianza si può scrivere come un sistema di disequazioni e da quest'ultimo si vede che il primo vincolo è più debole del secondo[/nota].
In base a quanto ho scritto, quello che hai scritto tu dovrebbe essere giusto!
Non riesco a fare le cose mettendo i numeri, preferisco usare le lettere quindi:
$x_i = text(produzione nel mese i)$
$c_i = text(costo produzione di una unità nel mese i)$
$d_i = text(domanda mese i)$
$y_i = text(unità in magazzino nel mese i)$
$p_i = text(capacità produttiva max nel mese i)$
$k_i = text(costo immagazzinamento di una unità nel mese i)$
$r_i = text(costo riattrezzaggio)$
$bar r = text(costo per ogni unità in più o in meno nel magazzino)$
$r_(max)= text(costo massimo per il riattrezzaggio)$
$min sum_{i=1}^3 c_i x_i + sum_{i=1}^3 k_i y_i + sum_{i=1}^3 r_i$
$text (s.t.)$
$y_(i-1)+x_i >= d_i$ $text ( )i=1,2,3$
$y_i=x_i+y_(i-1)-d_1$ $text( )i=1,2,3$
$x_i<=p_i$ $text( )i=1,2,3$
$y_3=0$
$r_i=|y_i-y_(i-1)|bar r$ $text( )i=1,2,3$
$r_i<=r_(max)$ $text( )i=1,2,3$
Non ho capito bene il testo, se il costo massimo per il riattrezzaggio è cumulato allora sostituisci l'ultimo vincolo con questo:
$sum_{i=1}^3 r_i<=r_(max)$ $text( )i=1,2,3$
Il primo vincolo che ti ho scritto impone il soddisfacimento della domanda(probabilmente con un minimo di attenzione si potrebbe omettere perché il secondo è un vincolo molto forte e fa la funzione di tutti e due);
Il secondo vincolo permette di calcolare la quantità dei pezzi in magazzino al termine del mese i;
Il terzo vincolo impone di non superare la capacità produttiva;
Il quarto vincolo impone che al terzo mese il magazzino sia vuoto;
Il quinto ti permette di calcolare il costo per il riattrezzaggio nel mese i;
Il sesto impone il non superamento del costo max per il riattrezzaggio (qualora il limite sia mensile, altrimenti lo sostituisci come ti ho detto sopra).
Aggiungo tre cose:
1) teoricamente nei problemi di PL e PLI non si dovrebbero usare i vincoli all'uguaglianza perché creano problemi nel trovare la soluzione (ad es. usando il simplesso)
2)il modulo che ho messo nel quinto vincolo andrebbe espresso come un insieme di vincoli, te l'ho scritto così perché è più compatto, però non andrebbe bene[nota]O meglio, non andrebbe bene alla professoressa con cui io ho sostenuto l'esame. Il problema è sempre riferibile al solutore che in teoria sa leggere solo le disuguaglianze[/nota].
3) andrebbero aggiunti i vincoli che impongono che $x_i>=0$ $text( )i=1,2,3$ e $y_i>=0$ $text( )i=1,2,3$. In particolare mettendo quest'ultimo si potrebbe togliere il primo vincolo che ho inserito [nota]Spero di non sbagliare ma l'uguaglianza si può scrivere come un sistema di disequazioni e da quest'ultimo si vede che il primo vincolo è più debole del secondo[/nota].
In base a quanto ho scritto, quello che hai scritto tu dovrebbe essere giusto!
Grazie mille, sei stato molto esaustivo e preciso. Il secondo punto l'avevo formulato come l'hai proposto tu ma mi ero dimenticato del modulo. Grazie ancora.
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