Esercizi calcolo numerico

[Samy211]

Ciao gente!

Scusate per il titolo del post molto vago ma così evito di aprire mille post e invadere la sezione.

Comunque, mettiamoci a lavoro..

Esercizio 1
a)Costruire la base dei polinomi di Lagrande di secondo grado relativi ai nodi $x_0=1, x_1=2, x_2=3$.
b)Basandosi sui polinomi precedenti, calcolare i pesi di una formula di quadratura di Newton-Cotes aperta a 3 nodi sull'intervallo $[1,4]$.
c)Dire qual'è l'ordine polinomiale di tale formula di quadratura.

Risoluzione
a) Ricordando la formula per il calcolo dei polinomi di Lagrange e la relativa base, ottengo $l_1(x)=-1/2(x^2-5x+6)$,$l_2(x)=-(x^2-4x+3)$,$l_3(x)=1/2(x^2-3x+2)$.

b) Di questa parte vi dico il ragionamento perchè non ne sono tanto certa. L'esercizio sembra non chiedere di interpolare la funzione ma solo il calcolo del peso. Attualmente so che la formula è aperta e quindi gli estremi dell'intervallo sono esclusi tra i nodi e che devo suddividere l'intervallo in 3 parti quando più uguali. Detto questo devo cercare quindi quel valore $w(x)$ nell'integrale $\int p(x)w(x)dx$ ovviamente l'integrale valutato negli opportuni punti. Quì però mi blocco

c) Per definire questo punto devo chiaramente risolvere quello precedente e so che per avere ordine polinomiale $m$ deve essere esatta rispetto tutti i polinomi di grado $m$.

Esercizio 2
Provare che se $\alpha$ è radice doppia per $f$, allora il metodo iterativo $x_(k+1)=\Phi(x_k)$, con $\Phi(x)=x-2f(x)/(f'(x)) converge, in generale, con ordine di convergenza $p=2$, se $f$ è abbastanza regolare.

Questo secondo esercizio non l'ho sinceramente capito

Ringrazio chiunque volesse darmi una mano e vi auguro una buona domenica!

[Samy211]

Scusate, in merito al punto b) del primo esercizio, ho letto che i pesi sono uguali a $w(x)=\int l_i dx$ quindi penso che in questo caso mi basta calcolare il relativo integrale. Non capisco però bene la suddivisione dell'intervallo, va calcolato in tutti e 3 i sottointervalli?

Grazie e scusate lo stress!

[Samy211]

Esercizio 3
Sia data la funzione $f(x)=log_2(x)$ in $[1,4]$ e i nodi $x_0=1$, $x_1=2$, $x_2=4$, $x_3=8$.
a) Calcolare il polinomio $p \in P_3$ che interpola in tali punti e lo si valuti in $\hat x=3.0$
b) Si utilizzi la formula dell'errore dell'interpolazione di Lagrange per valutare $E(\hat x)= |f(\hat x) - p(\hat x)|$ e si confronti il risultato ottenuto con l'errore vero.

Per la prima parte ho risolto con il metodo di Lagrange ottenendo$p(x)=x^3/(56) - 7/(24)x^2 + (11)/2x - (25)/3$ e valutandolo per $\hat x$ ottengo come valore $(253)/(42)$.

E' corretto fin quì?

Per il punto b) Non so come valutare $f(\hat x)$ dato che ho il log in base 2 e non si può utilizzare nè la definizione di logaritmo nè la calcolatrice... Dovrei cambiare base e ricondurmi ad un log "conosciuto" (ovvero base $e$ o $10$).

Vi ringrazio e spero che qualcuno di buona volontà mi possa aiutare