Errore locale di troncamento
Scusate vorrei sapere l'errore locale di troncamento, parlo di equazioni differenziali, cosa rappresenta geometricamente?
La retta tangente alla funzione nel punto $x_i$?
A presto.
La retta tangente alla funzione nel punto $x_i$?
A presto.
Risposte
l'errore di troncamento locale è l'errore di discretizzazione diviso per il passo di discretizzazione h.
A sua volta l'errore di discretizzazione è quello che deriva dal metodo numerico (ad esempio con il metodo di eulero dall'aver approssimato la derivata prima con la differenza finita), partendo dalla soluzione esatta al passo precedente.
Graficamente lo ottieni tracciando la tangente alla funzione dal punto precedente fino ad arrivare all'ascissa che stai considerando: a questo punto l'errore di discretizzazione è la differenza tra il valore esatto della funzione in quel punto ed il valore numerico che hai ottenuto...
é un pò contorto, ma spero sia comprensibile!!
A sua volta l'errore di discretizzazione è quello che deriva dal metodo numerico (ad esempio con il metodo di eulero dall'aver approssimato la derivata prima con la differenza finita), partendo dalla soluzione esatta al passo precedente.
Graficamente lo ottieni tracciando la tangente alla funzione dal punto precedente fino ad arrivare all'ascissa che stai considerando: a questo punto l'errore di discretizzazione è la differenza tra il valore esatto della funzione in quel punto ed il valore numerico che hai ottenuto...
é un pò contorto, ma spero sia comprensibile!!
Mi interessa graficamente, allora vediamo se ho capito:
Al primo passo preno f nel punto, poi se ho capito traccio la tangente in quel punto, al secondo passo considero una nuova curva passante per quel punto e a questo punto ritraccio la tangente a questa nuova curva, e cosi ad ogni passo.
Corregimi se sbaglio.
Al primo passo preno f nel punto, poi se ho capito traccio la tangente in quel punto, al secondo passo considero una nuova curva passante per quel punto e a questo punto ritraccio la tangente a questa nuova curva, e cosi ad ogni passo.
Corregimi se sbaglio.
In tal caso ti posto uno schizzo veloce:
[img]http://img828.imageshack.us/f/errorezm.png/[/img]
Con $u$ ho indicato la soluzione numerica e con $y$ quella esatta.
Come vedi nel punto $ x1 $ l'errore totale coincide con l'errore di discretizzazione ($AB$), mentre nel passo successivo ($x2$) l'errore totale è somma dell'errore di discretizzazione ($CD$) e di quello di propagazione ($DE$).
Con $u2$* ho indicato la soluzione numerica ottenuta partendo dal dato esatto al punto precedente (cioè prendendo la tangente in $A$).[img][/img]
[img]http://img828.imageshack.us/f/errorezm.png/[/img]
Con $u$ ho indicato la soluzione numerica e con $y$ quella esatta.
Come vedi nel punto $ x1 $ l'errore totale coincide con l'errore di discretizzazione ($AB$), mentre nel passo successivo ($x2$) l'errore totale è somma dell'errore di discretizzazione ($CD$) e di quello di propagazione ($DE$).
Con $u2$* ho indicato la soluzione numerica ottenuta partendo dal dato esatto al punto precedente (cioè prendendo la tangente in $A$).[img][/img]
Non mi posta l'immagine. Sbaglio io il comando???
Ho copiato l'indirizzo, e l'ho visto direttamente da ImageShack.
Si mettendo insieme tutti i pezzi ora ho capito.
La condizione iniziale mi fissa l'ugualiaza tra la soluzione esatta e quella approssimata, poi però come secondo passo già sbaglio di sicuro dato che prendo come soluzione approsimata la tangente della curva nel nel punto iniziale e me la calcolo in $x_1$, primo errore che nel tuo disegno corrisponde alla distanza tra $A$ e $B$, al secondo passo continuo nel modo analogo e mi calcolo il valore della tangente nel punto $x_2$, a questo punto devo osservare che l'errore è maggiore rispetto al passo precedente dato che non è nemmeno la tangente di f nel punto $x_2$ ma è la tangente nel punto iniziale calcolata in $x_2$.
Segue che già al secondo passo abbiamo un raddopiamento dell'errore.
Credo di esserci ora
Grazie ancora, anzi un doppio grazie perchè hai fatto anche il disegno che è stato illuminante.
Si mettendo insieme tutti i pezzi ora ho capito.
La condizione iniziale mi fissa l'ugualiaza tra la soluzione esatta e quella approssimata, poi però come secondo passo già sbaglio di sicuro dato che prendo come soluzione approsimata la tangente della curva nel nel punto iniziale e me la calcolo in $x_1$, primo errore che nel tuo disegno corrisponde alla distanza tra $A$ e $B$, al secondo passo continuo nel modo analogo e mi calcolo il valore della tangente nel punto $x_2$, a questo punto devo osservare che l'errore è maggiore rispetto al passo precedente dato che non è nemmeno la tangente di f nel punto $x_2$ ma è la tangente nel punto iniziale calcolata in $x_2$.
Segue che già al secondo passo abbiamo un raddopiamento dell'errore.
Credo di esserci ora
Grazie ancora, anzi un doppio grazie perchè hai fatto anche il disegno che è stato illuminante.
In effetti per avere convergenza non è sufficiente la consistenza ( $ lim_(n -> oo )Ed=0 $ , con $Ed$ massimo errore di troncamento locale) ma serve anche la stabilità (data da un piccolo errore di perturbazione). Per molti metodi numerici però, in particolare per i metodi ad un passo (come i metodi di Eulero e di Cranck-Nicholson), la zero-stabilità è sempre valida, perciò per dimostrare la convergenza è sufficiente dimostrare la consistenza.
Ho leto che un metodo è convergente se è consistente e zero stabile.
esatto, è proprio quello che ti dicevo nel post precedente.("In effetti per avere convergenza non è sufficiente la consistenza ( , con massimo errore di troncamento locale) ma serve anche la stabilità (data da un piccolo errore di perturbazione"). Con stabilità intendevo ovviamente la zero-stabilità.
grazie
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