Errore inerente e malcondizionamento
Salve a tutti,
mi sto esercitando in vista dell'esame di Calcolo Numerico e mi sono imbattuto in un problema dal quale non riesco a venire a capo, ecco la traccia:
Dalla teoria so che per l'errore relativo sulla soluzione vale la seguente disuguaglianza:
$||\deltax||/||x|| <= K_1(A)(||\deltaA||/||A|| + ||\deltab||/||b||)$
ma provando a sostituire ottengo:
$||\deltax||/||x|| <= 13(10^-2 + 10^-2 )$
ovvero:
$||\deltax||/||x|| <= 0,26$
ma la soluzione è:
$\epsilon_i <= 0,29$
Ho passato un pomeriggio intero a cercare in rete ma non trovo altre formule o relazioni che potrebbero essere utili in merito al condizionamento quindi suppongo di dover utilizzare quella che ho scritto, spero possiate aiutarmi.
Grazie
mi sto esercitando in vista dell'esame di Calcolo Numerico e mi sono imbattuto in un problema dal quale non riesco a venire a capo, ecco la traccia:
Sia $A$ una matrice con numero di condizionamento in norma 1
pari a $K_1(A) = 13$ . Supponendo di perturbare la matrice $A$ e il termine noto $b$
del sistema lineare $Ax = b$, stimare la perturbazione relativa della soluzione
$x$, sapendo che le perturbazioni relative di $A$ e di $b$ sono minori di $10^−2$ .
Dalla teoria so che per l'errore relativo sulla soluzione vale la seguente disuguaglianza:
$||\deltax||/||x|| <= K_1(A)(||\deltaA||/||A|| + ||\deltab||/||b||)$
ma provando a sostituire ottengo:
$||\deltax||/||x|| <= 13(10^-2 + 10^-2 )$
ovvero:
$||\deltax||/||x|| <= 0,26$
ma la soluzione è:
$\epsilon_i <= 0,29$
Ho passato un pomeriggio intero a cercare in rete ma non trovo altre formule o relazioni che potrebbero essere utili in merito al condizionamento quindi suppongo di dover utilizzare quella che ho scritto, spero possiate aiutarmi.
Grazie
Risposte
I denominatori $\norm{A}$ e $\norm{b}$ come li hai stimati?
nella traccia dice:
quindi ho supposto si riferisse a:
$||deltaA||/||A|| = 10^-2$ e $||deltab||/||b|| = 10^-2$
le perturbazioni relative di $A$ e di $b$ sono minori di $10^(−2)$
quindi ho supposto si riferisse a:
$||deltaA||/||A|| = 10^-2$ e $||deltab||/||b|| = 10^-2$
Scusami, ho scritto in fretta e non avevo letto relative.
Non ti preoccupare figurati, hai qualche idea ?
Il problema è che la tua formula di partenza non mi pare giusta. Quella che conosco io è
$$\frac{\| \delta x \|}{\|x\|} \leq \frac{\kappa_1(A)}{1-\kappa_1(A) \frac{\| \delta A \|}{\|A\|}} \left( \frac{\| \delta A \|}{\|A\|} + \frac{\| \delta b \|}{\|b\|} \right)$$
$$\frac{\| \delta x \|}{\|x\|} \leq \frac{\kappa_1(A)}{1-\kappa_1(A) \frac{\| \delta A \|}{\|A\|}} \left( \frac{\| \delta A \|}{\|A\|} + \frac{\| \delta b \|}{\|b\|} \right)$$
Con i tuoi dati trovo il risultato che riporti anche tu.
Con la tua il risultato è corretto, ma è la prima volta che vedo questa formula, in tutti i libri che ho consultato riportano quella che ho scritto sopra. Da dove viene fuori ?
Quarteroni Sacco Saleri Gervasio - Matematica Numerica, Thm 3.1.
Grazie mille, probabilmente sul materiale fornito dal professore c’è un errore di stampa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo