Errore inerente
Devo svolgere questo esercizio:
si scriva l'approssimazione al 1 ordine dell'errore inerente ottenuto dal calcolo della funzione:
-3(sqrt 5x^3-1)
il mio problema non e' calcolare l'errore inerente, il quale calcolo con la formula, x/f(x) * f'(x), ma non capisco cosa intenda per approssimare al 1 ordine? cioe' la funzione che trovo va approssimata ad una funzione lineare mediante taylor? o cosa dovrei fare? che cosa intende?
si scriva l'approssimazione al 1 ordine dell'errore inerente ottenuto dal calcolo della funzione:
-3(sqrt 5x^3-1)
il mio problema non e' calcolare l'errore inerente, il quale calcolo con la formula, x/f(x) * f'(x), ma non capisco cosa intenda per approssimare al 1 ordine? cioe' la funzione che trovo va approssimata ad una funzione lineare mediante taylor? o cosa dovrei fare? che cosa intende?
Risposte
Comincia calcolando il condizionamento del problema (con la formula che hai scritto)
Ripensandoci, probabilmente intende utilizzare la formula che hai scritto tu, nulla di più. Il numero di condizionamento infatti, non è definito esattamente così, ma in un altro modo $$K(d)=\sup \{\frac{||\delta x||/||x||}{||\delta d||/ ||d||} \}$$ per i $\delta d+ d$ che sono dati "ammissibili". Scrivendo $K(d)$ in modo migliore , adatto al tuo caso, si ha $$K(x)=\frac{|(f(x)-f(x_c))/f(x)|}{(x-x_c)/x}$$
In pratica, hai errori relativi in output a numeratore, ed errori relativi in input a denominatore. Ora, usando il thm di lagrange al numeratore $|f(x)-f(x_c)| \approx f(x) |x-x_c|$, da cui la formula che hai scritto tu. Il "prim'ordine" si riferisce a questo passaggio
In pratica, hai errori relativi in output a numeratore, ed errori relativi in input a denominatore. Ora, usando il thm di lagrange al numeratore $|f(x)-f(x_c)| \approx f(x) |x-x_c|$, da cui la formula che hai scritto tu. Il "prim'ordine" si riferisce a questo passaggio
e una volta effettuato il calcolo, come faccio a dire se l'errore e' ben condizionato o mal condizionato? in base al coefficente di amplificazione k?
Non è l'errore ad essere ben/mal condizionato, bensì il problema.
Se $K(d)$ è "grande", allora è il problema è mal condizionato, se è vicino a $1$, è ben condizionato. Nel caso della valutazione della funzione in un punto,$K(d)$ grande significa che piccoli errori relativi sui dati (cioè sul punto in cui valuti) producono grandi errori relativi sui risultati.
E' importante perchè ad esempio, se devi valutare una funzione e il tuo dato in ingresso non è altro che il valore esatto perturbato di poco, cioè $x + \delta x$, come accade nella pratica quando si effettuano misurazioni, non è desiderabile che l'output sia abbia un grande errore relativo
Di fatto, nota che $K(d)$ è definito come il rapporto tra errori relativi.
Se $K(d)$ è "grande", allora è il problema è mal condizionato, se è vicino a $1$, è ben condizionato. Nel caso della valutazione della funzione in un punto,$K(d)$ grande significa che piccoli errori relativi sui dati (cioè sul punto in cui valuti) producono grandi errori relativi sui risultati.
E' importante perchè ad esempio, se devi valutare una funzione e il tuo dato in ingresso non è altro che il valore esatto perturbato di poco, cioè $x + \delta x$, come accade nella pratica quando si effettuano misurazioni, non è desiderabile che l'output sia abbia un grande errore relativo
Di fatto, nota che $K(d)$ è definito come il rapporto tra errori relativi.
Perfetto, grazie mille.
Prego! 
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