Errore formula di Newton-Cotes
Sia $f$ una funzione sufficientemente regolare nell'intervallo $[0,1]$.
Consideriamo la formula di tipo Newton-Cotes $\int_0^1f(x)x^(alpha)dx~~1/(alpha^2+3alpha+2)f(0)+1/(alpha+2)f(1)$ con $alpha> -1$ determina una espressione per l'errore, in termini di una derivata opportuna di $f$.
Sia $p_2$ il polinomio di lagrange che interpola $f$ nei nodi $0$ e $1$ allora si ha che l'errore dell'integrale è:
$\int_0^1(f(x)-p_2)x^(alpha)dx$, ora usando la formula data dall'errore di interpolazione ovvero $f-p_2=f^((2))(xi_x)/2x(x-1)$ con $xi_x in(0,1)$ si ha che $\int_0^1(f(x)-p_2)x^(alpha)dx=\int_0^1f^((2))(xi_x)/2(x^(alpha+2)-x^(alpha+1))dx$, ora poichè $x^(alpha+2)-x^(alpha+1)<=0$ per ogni $x in[0,1]$ allora $EExiin[0,1]$ tale che $\int_0^1f^((2))(xi_x)/2(x^(alpha+2)-x^(alpha+1))dx=f^((2))(xi)/2\int_0^1x^(alpha+2)-x^(alpha+1)dx=-f^((2))(xi)/(2(alpha^2+5alpha+6))$
Volevo sapere se andasse bene, grazie.
Consideriamo la formula di tipo Newton-Cotes $\int_0^1f(x)x^(alpha)dx~~1/(alpha^2+3alpha+2)f(0)+1/(alpha+2)f(1)$ con $alpha> -1$ determina una espressione per l'errore, in termini di una derivata opportuna di $f$.
Sia $p_2$ il polinomio di lagrange che interpola $f$ nei nodi $0$ e $1$ allora si ha che l'errore dell'integrale è:
$\int_0^1(f(x)-p_2)x^(alpha)dx$, ora usando la formula data dall'errore di interpolazione ovvero $f-p_2=f^((2))(xi_x)/2x(x-1)$ con $xi_x in(0,1)$ si ha che $\int_0^1(f(x)-p_2)x^(alpha)dx=\int_0^1f^((2))(xi_x)/2(x^(alpha+2)-x^(alpha+1))dx$, ora poichè $x^(alpha+2)-x^(alpha+1)<=0$ per ogni $x in[0,1]$ allora $EExiin[0,1]$ tale che $\int_0^1f^((2))(xi_x)/2(x^(alpha+2)-x^(alpha+1))dx=f^((2))(xi)/2\int_0^1x^(alpha+2)-x^(alpha+1)dx=-f^((2))(xi)/(2(alpha^2+5alpha+6))$
Volevo sapere se andasse bene, grazie.
Risposte
No, purtroppo non va bene.
Prova a prendere $f(x) = cos(x\pi /2 )$
e dei valori di $\alpha$ vicini allo zero. Idealmente $\alpha -> 0^+$.
Hai che
$lim_{\alpha -> 0^+} \int_0^1 x^\alpha \cos(x\pi /2 )dx \approx \int_0^1 \cos(x\pi /2 )dx = 2/\pi \approx 0.636$.
D'altra parte $f(0) = 0, f(1) = 0$ quindi $ 1/(alpha^2+3alpha+2)f(0)+1/(alpha+2)f(1) = 0$.
Vediamo che per questa funzione, che ho scelto apposta in modo "cattivo", la formula di quadratura fallisce miseramente, ed e' accettabile, siccome usa solo 2 valori.
Pero' nonostante questo l'errore dovrebbe tenerne conto, ma:
$max |(f^{(2)}(x))| = max |(\pi^2 /4 cos(x \pi / 2))| = \pi^2 /4$.
Quindi l'errore massimo che puo' venire dalla tua formula di errore e'
$max |(-f^((2))(xi)/(2(alpha^2+5alpha+6)))| = \pi^2 /(4 * 12) \approx 0.206$
per $\alpha -> 0$.
La tua formula di errore non e' in grado di calcolare correttamente l'errore, ovvero di trovare un valore di $x = \xi$ che raggiunga l'errore reale.
"Al limite" la formula di errore dovrebbe fornire comunque una sovrastima dell'errore reale.
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OT:
Tu sei lo stesso "Andreadel1988" che ha/aveva un canale Youtube / Twitch ?
Prova a prendere $f(x) = cos(x\pi /2 )$
e dei valori di $\alpha$ vicini allo zero. Idealmente $\alpha -> 0^+$.
Hai che
$lim_{\alpha -> 0^+} \int_0^1 x^\alpha \cos(x\pi /2 )dx \approx \int_0^1 \cos(x\pi /2 )dx = 2/\pi \approx 0.636$.
D'altra parte $f(0) = 0, f(1) = 0$ quindi $ 1/(alpha^2+3alpha+2)f(0)+1/(alpha+2)f(1) = 0$.
Vediamo che per questa funzione, che ho scelto apposta in modo "cattivo", la formula di quadratura fallisce miseramente, ed e' accettabile, siccome usa solo 2 valori.
Pero' nonostante questo l'errore dovrebbe tenerne conto, ma:
$max |(f^{(2)}(x))| = max |(\pi^2 /4 cos(x \pi / 2))| = \pi^2 /4$.
Quindi l'errore massimo che puo' venire dalla tua formula di errore e'
$max |(-f^((2))(xi)/(2(alpha^2+5alpha+6)))| = \pi^2 /(4 * 12) \approx 0.206$
per $\alpha -> 0$.
La tua formula di errore non e' in grado di calcolare correttamente l'errore, ovvero di trovare un valore di $x = \xi$ che raggiunga l'errore reale.
"Al limite" la formula di errore dovrebbe fornire comunque una sovrastima dell'errore reale.
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OT:
Tu sei lo stesso "Andreadel1988" che ha/aveva un canale Youtube / Twitch ?
Che poi la formula di quadratura l'ho data io, nel senso i coefficienti $a_1$ e $a_2$ davanti a $f(0)$ e $f(1)$ li ho trovati io, interpolando $f$ con il polinomio di Lagrange e calcolandomi $a_1=\int_0^1L_0(x)x^alphadx$ e $a_2=\int_0^1L_1(x)x^alphadx$ e non so neanche se sono esatti, comunque non so altro modo di trovare l'errore se non usare l'interpolazione...
"Quinzio":
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OT:
Tu sei lo stesso "Andreadel1988" che ha/aveva un canale Youtube / Twitch ?
Ti direi una bugia se ti dicessi di si
... aahahha ho scelto apposta il mio nickname ma non c'entro con il personaggio (che in realtà ancora fa ciò che hai nominato), anche perchè ho 20 anni direi che non sono del 1988 .
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