Equazione differenziale per trasmissione calore
Salve a tutti,
sto studiando un problema di trasmissione del calore con generazione interna di energia termica. Ho un oggetto di una certa massa e volume, tutto concentrato in un unico noto, a cui fornisco energia termica tramite resistenza e voglio studiarne il riscaldamento mentre immerso in ambiente a T costante con cui l'oggetto scambia per convezione naturale e irraggiamento.
Sono arrivato a valle di un bilancio energetico alla seguente equazione differenziale da risolvere:
$ Y*dT/dt=X-A*(h*T+B*T^4)$
dove Y, X, A,h e B sono termini noti, T è la temperatura e t è il tempo. T=f(t). Per t=o conosco il valore di T.
Credo sia risolvibile con separazione delle variabili, ma sono bloccato, non so come procedere. potreste aiutarmi?
grazie mille
sto studiando un problema di trasmissione del calore con generazione interna di energia termica. Ho un oggetto di una certa massa e volume, tutto concentrato in un unico noto, a cui fornisco energia termica tramite resistenza e voglio studiarne il riscaldamento mentre immerso in ambiente a T costante con cui l'oggetto scambia per convezione naturale e irraggiamento.
Sono arrivato a valle di un bilancio energetico alla seguente equazione differenziale da risolvere:
$ Y*dT/dt=X-A*(h*T+B*T^4)$
dove Y, X, A,h e B sono termini noti, T è la temperatura e t è il tempo. T=f(t). Per t=o conosco il valore di T.
Credo sia risolvibile con separazione delle variabili, ma sono bloccato, non so come procedere. potreste aiutarmi?
grazie mille
Risposte
A me non sembra che si riesca ad integrare dopo aver separato le variabili, ma perché non mi mostri come hai provato a fare?
Tra l'altro, come fa l'oggetto ad avere un volume E ad essere puntiforme? :S
Tra l'altro, come fa l'oggetto ad avere un volume E ad essere puntiforme? :S
Ciao Raptorista,
grazie per la tua risposta tempestiva.
mi sono espresso male, il modello prevede un unico nodo (parametro concentrato) di data massa e volume. Per quanto riguarda l'integrazione, ho pensato di integrare a variabili separate ma mi sono bloccato subito senza abbozzare una risoluzione. se pensi si possa risolvere in altro modo sarei assolutamente contento saperlo.
sono arrivato alla formula che ho scritto pensando di dover andare a separare le variabili. ero partito dal bilancio di energia seguente:
$ rho Vc(partialT)/(partialtau ) = E_g-hA_s(T-T_oo )-epsilon sigma A_s(T^4-T_oo ^4) $
In questa equazione è tutto noto tranne T e la sua dipendenza dal tempo tau.
Conosco la condizione iniziale: $ T(0)=T_oo $
Non so come risolverla.
Per scriverla in maniera compatta ho raccolto i termini noti nei coefficienti che ho riportato nella formula iniziale del mio primo post.
grazie per la tua risposta tempestiva.
mi sono espresso male, il modello prevede un unico nodo (parametro concentrato) di data massa e volume. Per quanto riguarda l'integrazione, ho pensato di integrare a variabili separate ma mi sono bloccato subito senza abbozzare una risoluzione. se pensi si possa risolvere in altro modo sarei assolutamente contento saperlo.
sono arrivato alla formula che ho scritto pensando di dover andare a separare le variabili. ero partito dal bilancio di energia seguente:
$ rho Vc(partialT)/(partialtau ) = E_g-hA_s(T-T_oo )-epsilon sigma A_s(T^4-T_oo ^4) $
In questa equazione è tutto noto tranne T e la sua dipendenza dal tempo tau.
Conosco la condizione iniziale: $ T(0)=T_oo $
Non so come risolverla.
Per scriverla in maniera compatta ho raccolto i termini noti nei coefficienti che ho riportato nella formula iniziale del mio primo post.
Secondo me [e del software che ne sa più di me] non è possibile risolvere in forma chiusa quella equazione differenziale.
La cosa più comoda è usare un metodo numerico per ottenere una soluzione approssimata.
La cosa più comoda è usare un metodo numerico per ottenere una soluzione approssimata.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore visto che è un modello a parametri concentrati.[/xdom]
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