Eq.lineari

[Samy211]

Ciao,

volevo chiedervi una info.

Devo risolvere un sistema lineare utilizzando il metodo di Gauss con fattorizzazione e il pivoting parziale.
Vedendo diverse dispense ho notato 2 diversi metodi:

- #1: Si cerca di ricondursi ad una matrice diagonale superiore/inferiore lavorando sulle righe e calcolando per ogni elemento il relativo moltiplicatore.
- #2: Si lavora non sulle righe ma sulle colonne.

Faccio un esempio.
Ho questo sistema lineare.

$((2,0,1,0),(1,1,0,1),(0,-2,1,1),(2,1,0,1))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((3),(3),(0),(4))$

Con il metodo #1 mi calcolo il moltiplicatore $m_(21)$ per ottenere invece di $1$ lo $0$.
$(1-2m_(21))x_1 + (1-0m_(21))x_2 + (0-1m_(21))x_3 + (1-0m_(21))x_4 + (3-3m_(21))$
e segue che $m_(21)=1/2$ e ripeto questo procedimento per ogni valore $a_(ij) != 0$.

Con il metodo #2 invece mi occupo di tutta la prima colonna e opero in modo tale da ottenere in tutti i posti eccetto il primo lo zero.

Secondo voi qual'è il metodo migliore e più "diretto" per risolverlo?

Vi ringrazio e spero di essere stata chiara.

[Raptorista1]

Io ho sempre visto prediletto il metodo di riduzione sulle righe; quello sulle colonne dovrebbe essere equivalente, ma mi sembra innaturale e quindi non lo userei mai

[Samy211]

Si infatti è un discorso un pò più contorto secondo me... Mi fa piacere notare che non sono la sola a pensarlo

Scusa se ne approfitto della tua disponibilità ma stavo cercando di risolvere il sistema che ho scritto nel primo post con il metodo #1 (of course ) e mi blocco in una parte.

Di seguito i passaggi:

Ho trovato che il moltiplicatore $m_(21)=1/2$ e così il sistema diviene

$((2,0,1,0,3),(0,1,-1/2,1,3/2),(0,-2,1,1,0),(2,1,0,1,4))$ (ho messo in un'unica matrice anche i termini noti)

a questo punto mi calcolo $m_(32)$ facendo la differenza tra la riga 3 e la riga 2 moltiplicata per il moltiplicatore, ovvero $(-2-1m_(32))x_2+ (1-1/2m_(32))x_3+(1-1m_(32))x_4 + (0 - 3/2m_(32))$ e ottengo che $m_(32)=-2$.
segue
$((2,0,1,0,3),(0,1,-1/2,1,3/2),(0,0,2,3,3),(2,1,0,1,4))$
Adesso invece ottengo lo zero nel primo elemento in quarta riga semplicemente sottraendo da questa la 1 riga, segue
$((2,0,1,0,3),(0,1,-1/2,1,3/2),(0,-2,1,1,0),(0,1,-1,1,1))$
e sottraendo sempre da questa riga la 2^ ottengo
$((2,0,1,0,3),(0,1,-1/2,1,3/2),(0,-2,1,1,0),(0,0,-3/2,0,-1/2))$
a questo punto però non dovrei avere lo 0 nel posto 44 (4 riga e 4 colonna)...

Ho sbagliato?

Grazie.

[Raptorista1]

Perché non dovresti? Ora devi andare avanti con la riduzione, facendo sparire l'elemento \(a_{32}\) e poi \(a_{43}\).

[Samy211]

Me cretina!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ovviamente avevi ragione, io mi sono lasciata "intimorire" da quello 0 temporaneo che si trovava nel posto sbagliato...

Ti ringrazio, sempre gentilissimo!!