Due problemi: quadratura e interpolazione

Daethel1
Buonasera a tutti. Ho di recente ripreso gli studi ma mi trovo bloccato da un paio di esercizi di calcolo numerico.
Non penso sia nulla di difficile una volta capito come fare ma purtroppo sia sul libro sia sugli appunti non trovo il metodo per affrontarli o degli esercizi svolti.
Nello specifico, la prima tipologia di esercizi mi domanda (per esempio) se esiste un unico polinomio di terzo grado che soddisfi 4 condizioni di interpolazione, di cui però una è relativa alla derivata prima e una alla derivata seconda del polinomio stesso. Non ho idea di come affrontarlo, nel senso che se fossero 4 condizioni di interpolazione sul polinomio in sè stesso sarebbe relativamente facile (una volta dimostrato che esiste il polinomio, so anche che se esiste è unico e l'unica cosa che varia è il metodo per ricavarlo), ma la derivata prima e la derivata seconda mi lasciano perplesso.

Seconda tipologia di esercizi (sempre per esempio), ho una generica formula di quadratura:

$ I(f)= b*f(1/2) + a*f(1) + b*f(3/2) $

per approssimare un integrale sull'intervallo [0,2] e devo determinare i parametri a e b di modo che la formula sia del massimo ordine di accuratezza e dire di che ordine si tratta. Come devo procedere? A intuito mi verrebbe da scegliere il metodo del punto medio, ma non so come approcciarlo in maniera sistematica.

Risposte
Raptorista1
Ciao, benvenuto sul forum e nella mia sezione [il mio regno!] :D
Per il primo quesito, ti consiglio di affrontare il problema "di petto": scrivi il polinomio generico e imponi le condizioni. Arriverai ad un sistema lineare ed il tuo problema sarà ricondotto a quello dell'esistenza/unicità della soluzione di tale sistema.

Per il secondo quesito, la risposta non cambia: risolvilo a mano!
Se una formula è di ordine \(n\), allora è anche di ordine \(n-1\), e così via.
Per prima cosa devi allora verificare che sia di ordine \(0\). Se ci riesci, passi all'ordine \(1\) e così via fintanto che riesci a soddisfare le condizioni.
C'è anche un teorema di Jacobi che può fare al caso tuo :D

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