Dimostrazione per induzione sulle differenze divise
Salve a tutti.
Sto studiando la parte che riguarda l'approssimazione di dati e funzioni dal libro "Fondamenti di Calcolo Numerico" di Monegato Giovanni, in particolare, i polinomi di interpolazione e le differenze divise. C'è una dimostrazione su queste ultime che proprio non riesco a ricavare.
Dati n+1 punti distinti \(x_{0}, . . ., x_n \), non è difficile provare per induzione la seguente proprietà:
\(f[x_0, . . ., x_n] = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} \)
Il passo base è immediato, nel passo induttivo faccio questi semplici passaggi:
\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{f[x_1, . . ., x_n] - f[x_0, . . ., x_{n-1}]}{x_n - x_0} \)
Sulle due differenze divise che compaiono al nominatore, valgono le ipotesi di induzione e dunque riscrivo:
\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{\sum_{k = 1}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=1 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} - \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n-1} (x_k - x_i)}}{x_n - x_0} \)
Sulla prima differenza divisa avrei potuto osservare che, posto:
\( y_i := x_{i+1}\) per \( i = 0, . . ., n-1 \) \( \implies f[x_1, . . ., x_n] = f[y_0, . . ., y_{n - 1}] \)
Per mettere in evidenza il fatto che ci trovassimo nelle ipotesi di induzione.
Purtroppo da questo punto in poi non riesco a procedere. Per quanto molti testi dicano che non è difficile dimostrare l'uguaglianza, non so come andare avanti, né tanto meno sono riuscito a trovarla. Spero possiate aiutarmi.
Sto studiando la parte che riguarda l'approssimazione di dati e funzioni dal libro "Fondamenti di Calcolo Numerico" di Monegato Giovanni, in particolare, i polinomi di interpolazione e le differenze divise. C'è una dimostrazione su queste ultime che proprio non riesco a ricavare.
Dati n+1 punti distinti \(x_{0}, . . ., x_n \), non è difficile provare per induzione la seguente proprietà:
\(f[x_0, . . ., x_n] = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} \)
Il passo base è immediato, nel passo induttivo faccio questi semplici passaggi:
\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{f[x_1, . . ., x_n] - f[x_0, . . ., x_{n-1}]}{x_n - x_0} \)
Sulle due differenze divise che compaiono al nominatore, valgono le ipotesi di induzione e dunque riscrivo:
\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{\sum_{k = 1}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=1 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} - \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n-1} (x_k - x_i)}}{x_n - x_0} \)
Sulla prima differenza divisa avrei potuto osservare che, posto:
\( y_i := x_{i+1}\) per \( i = 0, . . ., n-1 \) \( \implies f[x_1, . . ., x_n] = f[y_0, . . ., y_{n - 1}] \)
Per mettere in evidenza il fatto che ci trovassimo nelle ipotesi di induzione.
Purtroppo da questo punto in poi non riesco a procedere. Per quanto molti testi dicano che non è difficile dimostrare l'uguaglianza, non so come andare avanti, né tanto meno sono riuscito a trovarla. Spero possiate aiutarmi.
Risposte
Hai provato a fare i conti per n=2 e/o n=3? Fare così dovrebbe darti l' idea che ti manca per sbloccarti.
Si, ma ci ho riprovato comunque questa mattina, a mente fresca, e in effetti ho capito cosa succede e a cosa è dovuta l'uguaglianza, quindi forse il problema sta nella formalizzazione, ancora non riesco ad esprimere i passaggi in modo generico e giungere alla conclusione.
Prova a ripetere i passaggi che fai nel caso con n=2 o n=3.
Dovresti fare questi passaggi
1) trattare a parte i termini $f(x_0)$ e $f(x_n)$
2) osservare che le rimanenti due somme girano sugli stessi indici ( i=1:n-1) e quindi unirle
3) fare i conti su questa unica somma che va da 1 a n-1
3 bis) riscrivere il risultato con un unica somma da 0 a n perchè così hai il risultato gnocco che cerchi.
Mi scuso per averci messo un po' a rispondere, in ogni caso non vorrei scriverti la soluzione buttata lì ma darti qualche consiglio. Se ancora non ne vieni fuori allora mi cimento nella scrittura.
Dovresti fare questi passaggi
1) trattare a parte i termini $f(x_0)$ e $f(x_n)$
2) osservare che le rimanenti due somme girano sugli stessi indici ( i=1:n-1) e quindi unirle
3) fare i conti su questa unica somma che va da 1 a n-1
3 bis) riscrivere il risultato con un unica somma da 0 a n perchè così hai il risultato gnocco che cerchi.
Mi scuso per averci messo un po' a rispondere, in ogni caso non vorrei scriverti la soluzione buttata lì ma darti qualche consiglio. Se ancora non ne vieni fuori allora mi cimento nella scrittura.
Mi sei stato di grande aiuto.
Questo passaggio mi mancava, inconsciamente l'avevo anche fatto nei casi 2, 3 e 4, ma non mi ero reso conto mi avrebbe portato dove volevo nella dimostrazione. Alla fine ho unito le sommatorie, fatto qualche osservazione sui prodotti e sono arrivato alla tesi.
Grazie mille per la disponibilità
1) trattare a parte i termini $f(x_0)$ e $f(x_n)$
Questo passaggio mi mancava, inconsciamente l'avevo anche fatto nei casi 2, 3 e 4, ma non mi ero reso conto mi avrebbe portato dove volevo nella dimostrazione. Alla fine ho unito le sommatorie, fatto qualche osservazione sui prodotti e sono arrivato alla tesi.
Grazie mille per la disponibilità
Grande ragazzo! ( Kun è per i ragazzi vero? ^^'').
Sono contento che sia riuscito, e sono contento di essere stato utile
Sono contento che sia riuscito, e sono contento di essere stato utile
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