Cercasi materiale per studio dell'errore
salve ragazzi ovviamente non chiedo di spiegarmi cose di cui sarebbe molto complicato parlarne nel forum ma ho un grave problema...
dovrei imparare a risolvere esercizi in cui scrivendo il polinomio di taylor di solito un seno devo valutare un certo errore!
ma non trovo materiale nei libri per capire come si possano fare questi esercizi... trovo solo la formula di taylor che una volta capita è anche banale ma per fare l'esercizio in questione niente!!
come posso fare?
dovrei imparare a risolvere esercizi in cui scrivendo il polinomio di taylor di solito un seno devo valutare un certo errore!
ma non trovo materiale nei libri per capire come si possano fare questi esercizi... trovo solo la formula di taylor che una volta capita è anche banale ma per fare l'esercizio in questione niente!!
come posso fare?
Risposte
se ho capito bene ti serve solo rivedere il teorema di Leibniz
La stima dell'errore si può ottenere tramite il teorema di Lagrange: se la funzione è di classe C^(n+1) allora il resto n-esimo è pari a:
f^(n)(c)*(x-x_0)^(n+1)/(n+1)!
dove c rappresente un punto opportunamente scelto tra x e x_0
f^(n)(c)*(x-x_0)^(n+1)/(n+1)!
dove c rappresente un punto opportunamente scelto tra x e x_0
ok ora cercherò il teromema di Leibniz!
ps... io marco non te ne avere a male ma non ho capito molto... conosco il polinomio di taylor ma in maniera molto meccanica... lo applico e trovo quanti passaggi vuoi ma se il profe mi dice di calcolargli il polinomio $P(5)$ di $senx$ con $x=x0$ e errore $10^-3$ io non so che dirgli!
ps... io marco non te ne avere a male ma non ho capito molto... conosco il polinomio di taylor ma in maniera molto meccanica... lo applico e trovo quanti passaggi vuoi ma se il profe mi dice di calcolargli il polinomio $P(5)$ di $senx$ con $x=x0$ e errore $10^-3$ io non so che dirgli!
provo a sviluppare direttamente l'esercizio: le derivate pari di sinx sono tutti seni (a meno del segno) mentre quelle dispari sono coseni. Quindi se devo sviluppare sinx in 0 il polinomio di taylor di ordine 5 è:
x-(x^3)/3!+(x^5)/5! l'errore si stima calcolando la derivata di ordine n+1 in questo caso quindi la derivate sesta che è ancora un seno. La funzione resto quindi vale sin(c)*x^6/6!. Nota che ho scritto la funzione resto e non semplicemente l'errore in quanto tale valore dipende dalla scelta che fai di x e conseguentemente di c, visto che c si trova tra 0 e x. Di conseguenza se il tuo prof vuole dare una stima dell'errore deve assegnarti x. Per esempio se ti chiedesse di calcolare sin0,1 l'errore sarebbe sinc*(0,1)^6/120<0,0000001/120 che evidentemente è minore di 10^(-3).
x-(x^3)/3!+(x^5)/5! l'errore si stima calcolando la derivata di ordine n+1 in questo caso quindi la derivate sesta che è ancora un seno. La funzione resto quindi vale sin(c)*x^6/6!. Nota che ho scritto la funzione resto e non semplicemente l'errore in quanto tale valore dipende dalla scelta che fai di x e conseguentemente di c, visto che c si trova tra 0 e x. Di conseguenza se il tuo prof vuole dare una stima dell'errore deve assegnarti x. Per esempio se ti chiedesse di calcolare sin0,1 l'errore sarebbe sinc*(0,1)^6/120<0,0000001/120 che evidentemente è minore di 10^(-3).
$x^2$
provo a sviluppare direttamente l'esercizio: le derivate pari di sinx sono tutti seni (a meno del segno) mentre quelle dispari sono coseni. Quindi se devo sviluppare sinx in 0 il polinomio di taylor di ordine 5 è:
$x-(x^3)/3!+(x^5)/5!$ l'errore si stima calcolando la derivata di ordine n+1 in questo caso quindi la derivate sesta che è ancora un seno. La funzione resto quindi vale $sin(c)*x^6/6!$. Nota che ho scritto la funzione resto e non semplicemente l'errore in quanto tale valore dipende dalla scelta che fai di x e conseguentemente di c, visto che c si trova tra 0 e x. Di conseguenza se il tuo prof vuole dare una stima dell'errore deve assegnarti x. Per esempio se ti chiedesse di calcolare sin0,1 l'errore sarebbe $sinc*(0,1)^6/120$<0,0000001/120 che evidentemente è minore di $10^(-3)$.
$x-(x^3)/3!+(x^5)/5!$ l'errore si stima calcolando la derivata di ordine n+1 in questo caso quindi la derivate sesta che è ancora un seno. La funzione resto quindi vale $sin(c)*x^6/6!$. Nota che ho scritto la funzione resto e non semplicemente l'errore in quanto tale valore dipende dalla scelta che fai di x e conseguentemente di c, visto che c si trova tra 0 e x. Di conseguenza se il tuo prof vuole dare una stima dell'errore deve assegnarti x. Per esempio se ti chiedesse di calcolare sin0,1 l'errore sarebbe $sinc*(0,1)^6/120$<0,0000001/120 che evidentemente è minore di $10^(-3)$.
La stima dell'errore si può ottenere tramite il teorema di Lagrange: se la funzione è di classe $C^(n+1)$ allora il resto n-esimo è pari a:
$f^(n)(c)*(x-x_0)^(n+1)/(n+1)! $
dove c rappresente un punto opportunamente scelto tra x e $x_0$
$f^(n)(c)*(x-x_0)^(n+1)/(n+1)! $
dove c rappresente un punto opportunamente scelto tra x e $x_0$
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