Calcolo numerico: precisione delle formule di quadratura
Salve!! Mi chiedevo che relazione esisteva tra il numero di punti considerato per una certa formula di quadratura ed il suo ordine di precisione.. ad es: la formula dei trapezi è una formula aperta a destra del 1° ordine e considera 2 punti.
La formula di simpson utilizza 3 punti, è considerata una formula chiusa ed è del 4° ordine..
nei testi ho trovato solo espressioni riguardo le formule monostep.. appunto come quella dei trapezi. però a me interesserebbe capire esattamente sia per le formule chiuse sia per quelle aperte quale è il legame tra i punti considerati e l'ordine di precisione della formula.. insisto.. sia per formule chiuse sia per formule aperte..
grazie
La formula di simpson utilizza 3 punti, è considerata una formula chiusa ed è del 4° ordine..
nei testi ho trovato solo espressioni riguardo le formule monostep.. appunto come quella dei trapezi. però a me interesserebbe capire esattamente sia per le formule chiuse sia per quelle aperte quale è il legame tra i punti considerati e l'ordine di precisione della formula.. insisto.. sia per formule chiuse sia per formule aperte..
grazie
Risposte
Sinceramente non so quale sia la differenza fra formule aperte e chiuse... non l'ho mai sentita! 
Comunque è possibile dimostrare che una qualunque formula di quadratura con $n$ punti può avere come massimo grado di precisione $2n-1$ e questo massimo è ottenuto usando le formule di integrazione gaussiane.
Comunque è possibile dimostrare che una qualunque formula di quadratura con $n$ punti può avere come massimo grado di precisione $2n-1$ e questo massimo è ottenuto usando le formule di integrazione gaussiane.
david_e: se non erro le formule chiuse sono quelle che includono gli estremi di integrazione come punti, mentre quelle aperte no.
jan: se farai la quadratura Gaussiana, come dice appunto david_e, c'è un teorema che afferma che se scegli appositamente i punti per fare la tua quadratura (vedrai in particolare che i punti nell'intervallo $[-1,1]$ corrisponderanno agli zeri dei polinomi di Legendre) avrai un ordine massimo di $2n-1$, se scegli $n$ punti. La quadratura di Gauss ha come scopo di scegliere i punti migliori per ottenere una quadratura di maggiore precisione (ordine maggiore).
jan: se farai la quadratura Gaussiana, come dice appunto david_e, c'è un teorema che afferma che se scegli appositamente i punti per fare la tua quadratura (vedrai in particolare che i punti nell'intervallo $[-1,1]$ corrisponderanno agli zeri dei polinomi di Legendre) avrai un ordine massimo di $2n-1$, se scegli $n$ punti. La quadratura di Gauss ha come scopo di scegliere i punti migliori per ottenere una quadratura di maggiore precisione (ordine maggiore).
Gauss, ordine di precisione $2n+2$
"pat87":
david_e: se non erro le formule chiuse sono quelle che includono gli estremi di integrazione come punti, mentre quelle aperte no.
Ok allora è possibile precisare meglio il discorso:
- Formule aperte: formule di integrazione Gaussiana: ordine di precisione $2n-1$.
- Formule chiuse: formule di integrazione di tipo GLL (Gauss-Legendre-Lobatto): ordine di precisione $2n-3$.
Con $n$ punti.
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