Calcolo di radicali - Esercizio (Calcolo Numerico)
Buonasera, avrei una domanda da sottoporvi. Sia dato il seguente esercizio:
Derivare un metodo numerico per il calcolo di [size=140]$ root(5)(3) $[/size] supponendo di lavorare con un calcolatore non in grado di calcolare radicali.
Quello che non ho ben capito è se la mia risposta (che sto per scrivere) è esauriente al punto giusto:
Risposta: Devo scrivere l'espressione $ root(5)(3) $ in termini di un'equazione non lineare, per cui diventerà:
$ x^5-3=0 $
$ x^5 = 3 $
$ x=root(5)3 $
A questo punto ho $ f(x)=x^5-3=0 $ e vi applico il metodo di Newton, così da diventare:
$ xk+1=xk-(xk^5-3)/(5xk^4) $ ( i k+1 e k sono pedici, non so come metterli
)
$ xk+1=4/5 xk+3/(5xk^4) $
Cioè ho ottenuto l'iterazione di Newton.
Secondo voi basta questo come risposta? O la domanda mi dice anche di dimostrare che il metodo è convergente? E poi come farei a dimostrarlo? Sono davvero confuso al riguardo :/
Scusate per gli eventuali errori, e grazie a chi mi darà una mano.
Derivare un metodo numerico per il calcolo di [size=140]$ root(5)(3) $[/size] supponendo di lavorare con un calcolatore non in grado di calcolare radicali.
Quello che non ho ben capito è se la mia risposta (che sto per scrivere) è esauriente al punto giusto:
Risposta: Devo scrivere l'espressione $ root(5)(3) $ in termini di un'equazione non lineare, per cui diventerà:
$ x^5-3=0 $
$ x^5 = 3 $
$ x=root(5)3 $
A questo punto ho $ f(x)=x^5-3=0 $ e vi applico il metodo di Newton, così da diventare:
$ xk+1=xk-(xk^5-3)/(5xk^4) $ ( i k+1 e k sono pedici, non so come metterli
)$ xk+1=4/5 xk+3/(5xk^4) $
Cioè ho ottenuto l'iterazione di Newton.
Secondo voi basta questo come risposta? O la domanda mi dice anche di dimostrare che il metodo è convergente? E poi come farei a dimostrarlo? Sono davvero confuso al riguardo :/
Scusate per gli eventuali errori, e grazie a chi mi darà una mano.
Risposte
Se hai un calcolatore/programma che non ha le radici, puoi fargli fare questo ciclo che ho inventato generalizzando un metodo di newton:
$x=y^(1/n)$
Il ciclo è (partendo da una $x!=0$):
$ (x/2)+((y/x^(n-1))/2)$
Spero di averti aiutato
Ps: sul tuo procedimento non so come correggerti
$x=y^(1/n)$
Il ciclo è (partendo da una $x!=0$):
$ (x/2)+((y/x^(n-1))/2)$
Spero di averti aiutato
Ps: sul tuo procedimento non so come correggerti
Grazie kobeilprofeta
Comunque non è un problema al calcolatore, è un esercizio scritto di preparazione per l'esame; a lezione il professore ci ha fatto l'esempio di radice x-esima invece che radice quinta, e ci ha parlato del metodo di Erone per x=2, che effettivamente converge.
Ma qui non saprei come dimostrarlo, forse "Derivare un metodo numerico" significa soltanto trovare il metodo e basta?
Comunque non è un problema al calcolatore, è un esercizio scritto di preparazione per l'esame; a lezione il professore ci ha fatto l'esempio di radice x-esima invece che radice quinta, e ci ha parlato del metodo di Erone per x=2, che effettivamente converge.
Ma qui non saprei come dimostrarlo, forse "Derivare un metodo numerico" significa soltanto trovare il metodo e basta?
Ok. 2 cose:
1) per mettere i pedici scrivi 5_2 e viene $5_2$. Oppure 5_{k^2} e viene $5_{k^2}$.
2) sono andato a vedere cos'è questa iterazione di newton. Il metodo è giusto, l'unica cosa che secondo me potresti aggiungere è un limite: cioè dato che l'iterazione converge al risultato esatto solo all'infinito, teoricamente bisogna scegliere un $l$ tale che quando $|x_{k+1}-x_k|$ (o in alternativa $(|x_{k+1}-x_k|)/x_{k+1}$ risulta minore di $l$, l'iterazione termina.
1) per mettere i pedici scrivi 5_2 e viene $5_2$. Oppure 5_{k^2} e viene $5_{k^2}$.
2) sono andato a vedere cos'è questa iterazione di newton. Il metodo è giusto, l'unica cosa che secondo me potresti aggiungere è un limite: cioè dato che l'iterazione converge al risultato esatto solo all'infinito, teoricamente bisogna scegliere un $l$ tale che quando $|x_{k+1}-x_k|$ (o in alternativa $(|x_{k+1}-x_k|)/x_{k+1}$ risulta minore di $l$, l'iterazione termina.
Grazie mille per tutto
Sì la tolleranza (e un criterio di arresto) è uno degli elementi necessari da inserire nel codice da implementare nel calcolatore, e quindi anche nell'esercizio svolto ne ho tenuto conto
Sì la tolleranza (e un criterio di arresto) è uno degli elementi necessari da inserire nel codice da implementare nel calcolatore, e quindi anche nell'esercizio svolto ne ho tenuto conto
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